сотрудничество платной частной клиники с бесплатными государственными

Нельзя! Можно только РЕКОМЕНДОВАТЬ! Государственные клиники работают по программе госгарантий, а именно: оказание помощи с минимальным жизненно необходимым набором услуг, оплачиваемых по ОМС . Остальное - на добровольной основе.

Низя! Потому что бесплатно никто для вас работать не будет, а платно - незаконная предпринимательская деятельность.

А ещё, лучше сразу при входе повесить огромное табло со словами:

"Вход в платную клинику через бесплатную! Свои вещи можете оставить где угодно! "

за отдельную плату рекламировать можно все, что угодно

Выдержка:
Правительство Российской Федерации
Постановление от 12 ноября 2012 г. № 1152
г. Москва
Об утверждении Положения о государственном контроле
качества и безопасности медицинской деятельности

14. При проведении проверок, предусмотренных подпунктом "е" пункта 3 настоящего Положения, осуществляются следующие мероприятия:

а) рассмотрение документов и материалов, характеризующих организацию работы, направленной на соблюдение ограничений, установленных статьей 74 Федерального закона "Об основах охраны здоровья граждан в Российской Федерации", в том числе рассмотрение:

договоров о проведении клинических исследований лекарственных препаратов, клинических испытаний медицинских изделий, а также об осуществлении медицинским работником педагогической и (или) научной деятельности;

договоров о поставках лекарственных препаратов, медицинских изделий на предмет наличия в них условий о назначении или рекомендации пациентам либо о предложении населению определенных лекарственных препаратов, медицинских изделий;
утвержденного администрацией организации, индивидуальным предпринимателем, которые осуществляют медицинскую деятельность, порядка участия представителей организаций, занимающихся разработкой, производством и (или) реализацией лекарственных препаратов, медицинских изделий, организаций, обладающих правами на использование торгового наименования лекарственного препарата, организаций оптовой торговли лекарственными средствами, аптечных организаций (их представителей, иных физических и юридических лиц, осуществляющих свою деятельность от имени этих организаций) (далее соответственно - компания, представитель компании) в собраниях медицинских работников и иных мероприятиях, связанных с повышением их профессионального уровня или предоставлением информации, предусмотренной частью 3 статьи 64 Федерального закона "Об обращении лекарственных средств" и частью 3 статьи 96 Федерального закона "Об основах охраны здоровья граждан в Российской Федерации";

б) осмотр помещений на предмет наличия бланков, содержащих информацию рекламного характера, рецептурных бланков, на которых заранее напечатано наименование лекарственного препарата, медицинского изделия, а также образцов лекарственных препаратов и медицинских изделий для вручения пациентам;