кто знает университеты (институты) на бюджетной основе за границей?

Многие страны не берут платы за обучение на национальном языке. Некоторые институты Финляндии и Норвегии учат и на английском без оплаты за обучение. За учебные пособия и прочие учебные расходы платить придётся, как и за проживание и медстраховку.
Гранты есть во всех вузах, но они предназначены для студентов, а не для абитуриентов, покрывают конкретные проекты, а не просто проживание в стране обучения. Некоторые страны (Германия, Норвегия) дают образовательные гранты для студентов экономически слабо развитых стран, но в Германии только на немецком, в Норвегии несколько программ есть на английском. Недавно Норвегия объявляла такие гранты, смотрите по своей стране.

Если Вы имеете ввиду бесплатное обучение, то можете посмотреть этот сайт :
http://eduabroad.ru/journal/khachaturian/3

Но, везде нужно знать язык той страны, куда собираетесь ехать учиться.
Как уже и писали, гранты не даются абитуриентам, они даются студентам со второго года обучения при отличной учёбе и общественной работе.
Грант - это не стипендия и не даётся на руки студенту, а сразу вносится, как часть платы за обучение.

Во многих зарубежных университетах, общежитие не дают на первом курсе. Так, что жильё нужно будет снимать.
Общежитие стоит 200-300 евро в месяц.

Про экзамены, в каждом университете свои правила поступления.

Самое доступное бесплатное высшее образование Вы можете найти в Чехии или Финляндии. Как правило, основные затраты поступающих - это предварительный год языковых курсов. Чтобы поступить, необходимо знание языка, и год в языковой школе - наилучший вариант.
Я знаю многих девушек и ребят из Казахстана, кто выбрал Чехию и остался доволен - это лучший вариант, нежели учиться в России. Общежития там есть, экзамены, как и везде - зависят от выбранного факультета. Чехия считается самой любимой страной студентов - жить там дешево, студентам предоставляется огромное количество льгот. Кстати, при поступлении в вуз, языковой экзамен вы не сдаете, и вы не обязаны подтверждать, что учились на языковых курсах. Главное только ЗНАТЬ язык, но поверьте, самостоятельно вы не сможете выучить его на должном уровне.
Финляндию выбирают реже - учиться можно и на финском и на английском, зависит от программы. Почему то все боятся финского языка, хотя он считается самым легким в изучении. Я его и сейчас побаиваюсь:).. . Но если предварительно учиться на годовых курсах - то нет разницы между Чехией и Финляндией. Хотя Чехия нам все же ближе в плане языка: ) Если вы хотите выучить язык без затрат, поезжайте не на годовые курсы в языковую школу, а по какой нибудь программе, типа AU PAIR. И язык выучите и деньги будут. Если что-то непонятно, или переспросить хотите, не стесняйтесь обращаться ко мне в личку!
Я думаю что Чехия должна вас заинтересовать!