как учителю иностранного языка можно пройти стажировку за рубежом?

Способов много. Как уже было сказано выше это турпутёвка. Если состоите в союзе переводчиков, то у них есть подобного рода стажировки. Летом есть различные сезонные языквые школы в различных странах, направленные на повышения знания иностранного языка (могу сайты посмотреть по этой тематике, если скажите какой язык вы хотели бы улучшить и в какой стране) В Германии например можно устраиваться на работу на несколько месяцев и учить язык. Для студентов в Европе например есть Erasmus Programme. Поступите в какой-нибудь университет на половину семестра обучения или более. Это и будет стажировкой. Кстати, многие знакомые мне переводчики так и делали, подавали документы в университет нужной страны и изучали там филологию, историю или другие предметы. В некоторых странах Европы образование бесплатное, стипендия.
Только я не понимаю зачем это учителю, но понимаю вас как человека.
Разных решений очень много, от различных корпораций, на которые вы могли бы работать и у которых есть офисы за рубежом, вот там точно проходят стажировку в других странах (у меня есть конкретный пример из жизни) , при желании сотрудника, до au pair. Может вы хотите написать какую либо работу об архетиктуре, истории другой страны, провести исследование? Через университет это сделать вполне реально, если вы на хорошем счету как переводчик. Думаю там, где вы учились есть нужные связи для повышения квалификации.

Нужно направление на стажировку.

турпутевка, убиваешь 2 зайца - отдых + языковая практика)))))