Нужно ли разрешение отца на вывоз ребенка за границу, при разводе?

согласие не нужно.

Если на ПМЖ, то обязательно. А на отдых нет. В случае выезда из РФ несовершеннолетнего гражданина РФ совместно с одним из родителей согласие второго родителя не требуется, если от него не поступило заявление о несогласии на выезд из РФ своих детей. оформленного в соответствии с положениями Постановления Правительства РФ от 12 мая 2003г № 237 " Об утверждении правил подачи заявления о несогласии на выезд из РФ несовершеннолетнего гражданина РФ"
Федеральная служба Безопасности РФ
Пограничная служба от 27 июня 2007 № 21/1/7/3/
Федеральный Закон от 15,08,96 г № 114-ФЗ

Нет, не нужно.

Надеюсь Вы не иностранка?

Что значит "ПРИ разводе"? Законодательством РФ не установлена обязанность соответствующих органов требовать согласия обоих родителей на выезд несовершеннолетнего гражданина за пределы Российской Федерации, это позволяет не ограничивать передвижение ребенка даже в случае невозможности получения разрешения на выезд от второго родителя по различным причинам. Но:

Если один из родителей возражает против выезда ребенка за границу, то в соответствии с Правилами подачи заявления о несогласии на выезд из Российской Федерации гражданина Российской Федерации, утвержденными Постановлением Правительства РФ от 12 мая 2003 г. N 273, он должен подать соответствующее заявление.

Нет

ДА!
Это конечно бред! Но согласие отца в Украине надо!
незнаю как в других странах

А разрешение и не нужно (если ваш бывший не написал пограничникам заявление о том, что он против того чтобы дети покидали пределы РФ)
Если ребенок едет с одним из родителей, нотариально заверенное согласие на его выезд от второго родителя не потребуется. Надо только в те страны, где есть визовый режим!

Да, если только он не лишён родительских прав.
Ваш развод никак не влияет на его отцовство.