Когда меняешь ребенку фамилию в ЗАГСе, можно и имя поменять?

Вам надлежит руководствоваться следующими предписаниями Федерального закона от 15 ноября 1997 года № 143-ФЗ "Об актах гражданского состояния"
Статья 58. Перемена имени
1. Лицо, достигшее возраста четырнадцати лет, вправе переменить свое имя, включающее в себя фамилию, собственно имя и (или) отчество.
2. Перемена имени производится органом записи актов гражданского состояния по месту жительства или по месту государственной регистрации рождения лица, желающего переменить фамилию, собственно имя и (или) отчество.
3. Перемена имени лицом, не достигшим совершеннолетия, производится при наличии согласия обоих родителей, усыновителей или попечителя, а при отсутствии такого согласия на основании решения суда, за исключением случаев приобретения лицом полной дееспособности до достижения им совершеннолетия в порядке, предусмотренном законом.
4. Перемена имени лицу, не достигшему возраста четырнадцати лет, а также изменение присвоенной ему фамилии на фамилию другого родителя производится на основании решения органа опеки и попечительства в порядке, установленном статьей 59 Семейного кодекса Российской Федерации.
5. Перемена имени подлежит государственной регистрации в органах записи актов гражданского состояния.
Статья 60. Порядок государственной регистрации перемены имени
1. Государственная регистрация перемены имени производится на основании заявления о перемене имени.
2. Заявление о перемене имени должно быть рассмотрено органом записи актов гражданского состояния в месячный срок со дня подачи заявления.
3. При получении заявления о перемене имени орган записи актов гражданского состояния запрашивает копии записей актов гражданского состояния, в которые необходимо внести изменения в связи с переменой имени, от органов записи актов гражданского состояния по месту их хранения.

С разрешения отца ребенка можно и фамилию и имя и даже отчество поменять.

только по соглашению с ним