каким способом можно добиться разрешения вывоза ребенка за границу(своего, родного)на отдых, если папаша неизвестно где

Если вы едете с ребёнком сами, то никакого разрешения вам не требуется:

Федеральный закон от 15.08.1996 N 114-ФЗ
"О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию"
...
Статья 20. Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей. В случае, если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств) , которое (которые) он намерен посетить.

То есть согласие требуется только в том случае, если ребёнок едет без сопровождения. Причём это должно быть согласие "названных лиц", то есть одного из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей.
В принципе, этот вопрос давно уже закрыт, закон работает, на крайний случай возьмите с собой выписку из закона, если попадётся неправильный пограничник.

Вам не требуется никаких разрешений для отдыха с ребенком за границей. И уж тем более в Турции - там вообще виз не нужно.

В случае выезда из РФ несовершеннолетнего гражданина РФ совместно с одним из родителей согласие второго родителя не требуется, если от него не поступило заявление о несогласии на выезд из РФ своих детей, оформленного в соответствии с Постановлением Правительства РФ от 12 мая 2003г " Об утверждении правил подачи заявления о несогласии на выезд из РФ несовершеннолетнего гражданина рФ"
Федеральная служба РФ
Пограничная служба от 27 июня 2007 г № 21/1/7/3/
Федеральный Закон от 15,08,96г

да берите ребенка и езжайте, для стран где виза по прилету разрешения вашего бывшего мужа не нужно совершенно, и сама с ребенком летаю и подруги летают- никаких проблем не возникало

отыскать папу

Придется разыскивать. Если не найдут, объявят пропавшим официально. Вы обращались в реестр?

Подать в розыск на папашку.