Какое решение примет суд?

Квартиру он жене оставить не мог, т. к. она государственная, т. е. неприватизированная и ему не принадлежит. Он мог только прописать жену, а сам выписаться.
Жена не могла отказаться от выплаты алиментов на ребенка (если уже ранее подала на алименты). т. к. по закону у нее нет на это права (можно только отозвать исполнительный лист, заключив соглашение о выплате алим. в добровольном порядке). Жена могла только просто не подавать на алименты.
Помимо судебного порядка родители могут заключить соглашение об уплате алиментов в добровольном порядке ( ст. 80; ст. 99 СК) , где устанав. размер, условия, порядок уплаты (но не меньше 1/4 от заработка (иного дохода родителя) / в мес ( если ребенок один). Такое соглашение д/б нотариально заверено, иначе оно признается недействительным (ст. 165 ГК) Соглашение имеет силу исполнительного листа.

***Отсюда и пляшите: есть такое соглашение или нет, на каком основании он оплачивает наем итд. ***

Согласно ст. 101 СК "Соглашение об уплате алиментов может быть изменено или расторгнуто в любое время по взаимному согласию сторон.
Изменение или расторжение соглашения об уплате алиментов должно быть произведено в той же форме, что и само соглашение об уплате алиментов.
Односторонний отказ от исполнения соглашения об уплате алиментов или одностороннее изменение его условий не допускаются".
Если не было заключено соглашения, то мать в любое время имеет право подать на алименты до достижения ребенком 18 л. (за искл. случая эмансипации) Суд должен будет удовлетворить требование о взыскании алиментов (ст. 81 СК)

Что касается мат. помощи см. ст. 86 СК "Участие родителей в дополнительных расходах на детей.
1. При отсутствии соглашения и при наличии исключительных обстоятельств (тяжелой болезни, увечья несовершеннолетних детей или нетрудоспособных совершеннолетних нуждающихся детей, необходимости оплаты постороннего ухода за ними и других обстоятельств) каждый из родителей может быть привлечен судом к участию в несении дополнительных расходов, вызванных этими обстоятельствами.
Порядок участия родителей в несении дополнительных расходов и размер этих расходов определяются судом исходя из материального и семейного положения родителей и детей и других заслуживающих внимания интересов сторон в твердой денежной сумме, подлежащей уплате ежемесячно.
2. Суд вправе обязать родителей принять участие как в фактически понесенных дополнительных расходах, так и в дополнительных расходах, которые необходимо произвести в будущем".

Надо Вам проштудировать Семейный кодекс - там четко опредлены возможности при таких обязанностях

суд назначит алименты со дня обращения за ними.

Пусть квартиру забирает... раз алиментов не избежать. В СУД на раздел, установление истенного хозяина и на улицу её!

суд взыщет алименты со дня подачи искового

в этой задаче определяющими являются слова государственная квартира, договорились - оставит квартиру жене ( основания, документальное подтверждение) ,отказалась от алиментов ( документ ) ))))))))))