Отец ребёнка пытается уклониться от алиментов

Решение суда можно оспорить: 1. по процессуальным нарушениям (нарушение процедуры рассмотрения дела в суде, которое могло повлиять на законность вынесенного решения) 2. По существу (то есть сама суть решения-отец-не отец) . Основания обжалования будут написаны в жалобе которую вам нужно прочитать.
Экспертиза важное доказательство При обжаловании есть очень серьезные ограничения по предоставлению новых доказательств в вышестоящей инстанции.
В случае отказа от экспертизы есть постановление пленума верховного суда № 9 от 25.10.1996г. п. 6 гласит, что при уклонении стороны от участия в экспертизе, непредставлении экспертам необходимых материалов и документов для исследования и в иных случаях, если по обстоятельствам дела и без участия этой стороны экспертизу провести невозможно, суд в зависимости от того, какая сторона уклоняется от экспертизы, а также какое для нее она имеет значение, вправе признать факт, для выяснения которого экспертиза была назначена, установленным или опровергнутым.
При отказе от экспертизы шансы у отца минимальны.
Для детей, родившихся до 1996 г. есть нюансы.

Может он был вне РФ в сроки предполагаемого зачатия ребёнка?

ни на каком

Тока если справку от врача принесет, что его в глубоком детстве свинка постигла и он из-за этого в принципе детей на свет производить не способен, ну или что-то в этом роде

а вы не могли бы мне написать, как у вас проходило это дело, по признанию отцовства?