Ситуация с лишением родтельских прав...

От отца ребенка нужно получить согласие на усыновление, заверенное нотариусом. Далее идете в опеку, там вам все разъяснят

Нужно БМ идти к нотариусу и дать согласие на усыновление ребенка. Вашему мужу, заручившись поддержкой органов опеки подать иск в суд на усыновление ребенка. Или лишить частично родительских прав отца. Тогда разрешение не надо. Но это тоже не так просто.

Это очень долгая процедура.
Идите к адвокату и в ООиП там Вам всё расскажут и дадут перечень доков на внутрисемейное усыновление. Затем иск в суд.

Отказаться от ребенка невозможно, отказ не предусмотрен законодательством РФ. Есть ст. 129 СК РФ где отец ребенка имеет право обратиться в орган опеки и попечительства и написать заявление о том, что он дает свое согласие на усыновление (удочерение) своего ребенка другим лицом, но это не отказ. Для выезда за пределы РФ с одним из родителей на отдых согласие второго родителя не требуется, даже при выезде не с родителем согласие также требуется только от одного родителя. Согласие от второго родителя необходимо в том случае если от него поступило заявление в ФСБ, что он против выезда своего несовершеннолетнего ребенка за пределы РФ. Также согласие второго родителя необходимо при выезде ребенка за пределы РФ на ПМЖ.

что бы ваш муж усыновил - лишать папу не нужно. Достаточно его согласие на усыновление, оформленное в опеке или у нотариуса.
А разрешение на выезд нужно только в визовые страны шенгена.

1. В плане доверенности, да она нужна от одного родителя если ребенок едет один, но не у всех таможенников это прокатит, каждый раз на удачу, не которые таким образом перестраховываются.
2. Не совсем законный способ, пойти к нотариусу и "сделать" доверенность о том, что отец без вести пропавший.
3. Если сделать все законно, отцу ребенка необходимо пойти в органы опеки по месту жительства ребенка, написать заявление о том, что он просит лишить его родительских прав и отказывается от него, да в уодексе нет статей об этом, но существует множество доп. актов и т. д. проще говоря, такое своеобразное заявление будет говорить о том, что родитель не исполняет должным образом свои обязанности, а это уже статья СК РФ, далее лишение прав. После этого собираете пакет документов на усыновление, полный перечень не назову, но это и обход врачей, потом пишите заявление в опеке и они сами выходят в суд на усынавление.
4. Если папа не исполняет свои обязанности, не платит аллименты, не общается с ребенком, идете опять же в органы опеки и просите посодействовать в лишении его прав, вы можете и сами, но это муторно, вам понадобятся доказательства того, что папа не нучаствует в воспитании ребенка, ваше заявление с указанием его адреса, чтобы его могли вызвать в суд, другие документы, в суде скажут.
По срокам: первое заседание предварительное, на нем ни чего не решится, на втором если будет присутствовать отец и скажет, что не против его лишения могут сразу лишить, в таком случае решение будет вступать в силу 1 месяц, если же папы не будет на суде то скорей всего лишат минимум на третьем заседании и в этом случае решение будет вступать в силу три месяца. Промежуток между заседаниями около месяца.
Но в любом случае легче если папа сам объявит о своем желании по лишению. Т. к. сейчас очень неохотно лишают прав.