помимо официальной заработной платы имеет ли право адвокат копать имущество алиментщика?

У адвоката НЕТ заработной платы, представляешь? Ему ее никто не платит. Весь его доход-это гонорар от клиентов. Что ты подразумеваешь под копанием имущества алиментщика известно наверное тебе одному.

а "зарывать" не подойдет?

Алименты взыскиваются со всех видов дохода.
По этому если адвокат пытается доказать дополнительный источник дохода у алиментщика - значит он добросовестно отрабатывает свой гонорар.
А если алиментщик не платит вообще и есть задолженность и адвокат разыскивает имущество должника для ареста приставами - он так же отрабатывает гонорар.
Так же адвокат может "копаться" в чужом имуществе при разделе его супругами.

у алиментщика земельный участок? пусть радуется, упырь

Да пусть копает. Чего конкретно Вы опасаетесь? Какой доход приносит Ваше имущество? Квартиру сдаёте? Ну так предупредите съёмщиков, чтобы слали всех на три буквы - иначе вылетят в тот же день. Насчёт налогов - даже если квартиросъёмщики признаются, что снимают квартиру и предоставят договор, вопрос решается одной грамотно составленной бумажкой, и у налоговой сразу пропадёт намерение что-то с Вас получить.

И действительно интересно, что Вы подразумеваете под понятием "копать"? Какие конкретно действия совершает адвокат, когда "копает"?

Адвокат не копает а истребует ЛЮБЫЕ СВЕДЕНИЯ о ВАШИХ ДОХОДАХ. Адвокат, не враг, по крайнем мере вашему ребёнку. В вашем случае, НАДО МИРНО договориться с БЫВШЕЙ, лучше и ДЕШЕВЛЕ КРАТНО !!!БУДЕТ. Сожалею, однако так и правда лучше будет. Адвокат потом ещё и компенсацию СДЕРЁТ !!!с ВАС. УВИДИТЕ.

ни копейки бывшим!!)))
пусть сами зарабатывают!

Адвокат имеет право направлять адвокатские запросы! Если он превышает свои полномочия, то ему просто не ответят по существу

Может совместно нажитое копает? Или сдаёте квартирку налоги и алименты с этих денег не платите? Напишите заявление в полицию что он лезет в вашу личную жизнь в этом духе.