Нужно ли заново получать ИНН при рег-ции в другом городе или только становиться на учет с этим же ИНН в местном органе?

Что значит заново? Учёты тоже разные бывают, у физлиц свои, у юрлиц – свои.
Важна причина постановки на учёт.

Если у вас уже (или ещё) нет ИНН, то в другом городе вам его и так присвоят. Если вы просто место жительства или нахождения поменяли (или имущество сменило или приобрело адрес) , то ИНН остаётся тот же.
ИНН заносится в базу данных и живёт вместе с человеком или организацией.

Про присвоение ИНН можно почитать Приказ МНС РФ от 03.03.2004 N БГ-3-09/178 (ред. от 05.11.2009) "Об утверждении Порядка и условий присвоения, применения, а также изменения идентификационного номера налогоплательщика и форм документов, используемых при постановке на учет, снятии с учета юридических и физических лиц". Присвоенный организации или физическому лицу идентификационный номер налогоплательщика (ИНН) не подлежит изменению, за исключением случаев внесения изменений в нормативные правовые акты Российской Федерации либо изменения его структуры в связи с внесением изменений в положения раздела 1 Порядка.

Каждому налогоплательщику присваивается единый на всей территории Российской Федерации по всем видам налогов и сборов идентификационный номер налогоплательщика. (п. 7 ст. 84 НК РФ) .

Идентификационный номер налогоплательщика (ИНН) при изменении места нахождения организации не изменяется. Об этом сказано в Приказе Минфина РФ от 05.11.2009 N 114н "Об утверждении Порядка постановки на учет, снятия с учета в налоговых органах российских организаций по месту нахождения их обособленных подразделений, принадлежащих им недвижимого имущества и (или) транспортных средств, физических лиц - граждан Российской Федерации, а также индивидуальных предпринимателей, применяющих упрощенную систему налогообложения на основе патента".

Идентификационный номер налогоплательщика (ИНН) организации при снятии ее с учета в налоговом органе в случае ликвидации признается недействительным (это указано всё в том же Приказе МНС РФ от 03.03.2004 N БГ-3-09/178 ).Сведения о снятии организации с учета в связи с изменением места нахождения и выписка из ЕГРЮЛ по каналам связи направляются в налоговый орган по новому месту нахождения организации не позднее рабочего дня, следующего за днем снятия организации с учета. Идентификационные номера налогоплательщиков (ИНН) организаций при снятии их с учета в случае прекращения деятельности в результате реорганизации в форме слияния, разделения и преобразования признаются недействительными.

Ну, и тэ пэ и тэ дэ. Много разных ситуаций, все не перечислить. Если есть необходимость знать всё подробно, то почитайте Приказы. Там всё доступно изложено.