может ли сын узнать состояние счета умершего отца не вступив в наследство?

в таких случаях нотариус подает запрос в банк и банк ему предоставляет ответ в письменной форме

Вы сами себе противоречите. Если заявление нотариусу подано, вы наследство приняли! Надо запрос от нотариуса отвезти в банк, там сделают выписку со всех имевшихся у отца счетов и вышлют нотариусу почтой.

либо нотариус вводит вас в заблуждение, либо вы его неправильно поняли. Банк вправе отказать-открытие наследственного дела отнюдь не означает, что именно вы получите наследство (может выскочить завещание или появиться другие претенденты). Вы для банка пока что НИКТО.
Нотариус делает запрос в банк (это такой документ). Потом либо сам отправляет этот запрос почтой, либо дает наследнику его на руки (что нотариусы делают чаще всего). Наследник топает в банк и подает этот запрос. Обычно даже не надо обращаться к оператору, чаще всего в банках висят специальные ящички с надписью-Для запросов нотариусов. Либо опускаете в ящичек либо отдаете оператору. Вам никакой информации в банке не дают. Банк в течении месяца отправляет ответ самому нотариусу. И вот тогда наследник может узнать состояние счета у нотариуса. По истечении 6 месяцев после смерти нотариус выдает наследнику Свидетельство о праве на наследство на вклад в банке с указание суммы этого вклада.. С ним можно уже топать в банк и снимать деньги.

пусть нотариус сделает запрос в банк