Кто знает, почему у кабачков начинают гнить маленькие плодики?

Не опылились --100%. Опыляйте в ручную----срываете пустоцвет, отрываете для удобства лепестки и пыльником обмазываете пыльцой рыльце в цветке с завязью. делать это надо утром, как цветы распустятся, особенно если жара стоит, часов до 10 утра, в пасмурную погоду до обеда можно. если у вас дожди, то поступить надо так------накануне вечером одеваете на окрасившиеся бутоны пакеты и фиксируете, чтобы вода внутрь не попала, а на другой день, как цветы распустятся, также опыляете их, но с женского цветка пакет не убирайте до вечера. и будете с кабачками, не смотря на происки погоды и отсутствие опылителей. если очень сыро, то можно что-то подложить под растущие кабачки, чтобы на мокрой почве не лежали.

Возможно фитофтора их поразила.

Серая гниль от излишней влажности. Дожди, перелив, временная прохлада - вот основные факторы. А ещё загущенные непродуваемые посадки и сорняки, повышающие влажность в своей гуще.

не опыленные

Влажность высокая, вкупе с дождями. И подгнили.

скорее всего это не опылились из за жары или других причин, надо взять кисточку и опылить цветы или сорвать мужской цветок и опылить женские цветки.
Мужские цветки на ножках (так называемый пустоцвет)
женские на плетях

Много воды, кабачки родом из Мексики, воду не любят.

Большое количество полива.

От дождей начинают гнить неотпавшие цветки, а от них гниль идёт дальше.

оторвите да выкиньте подальше эту гнилую часть.. А в будущем поливайте под корень.

одна причина - не опылились