Рассада, томаты черри

То, что долго прорастали - срок 3 недели - это не просто долго, а очень долго для семян томата, что может говорить о плохом качестве семян и отклонении в условиях для всходов. Возможно была слишком низкая температура (должна быть не ниже 25гр.).
То, что всходы погибают, может говорить о том, что почва плохого качества или с неподходящей кислотностью.
Судя по фото, почва вообще не понять из чего состоит. Но черной ножки нет. Причина не в ней.
Меняйте почву и сейте по новой.
Залог успеха - качественные семена, хороший грунт, состоящий не из единого торфа или земли, взятой где-то на улице, и нормальные условия для роста (тепло, освещение, умеренная влажность грунта).

земля видимо с огорода?

есть три причины гибели растений: зараженная почва, больные (зараженные ) семена, неправильный уход.
И в неправильном уходе - наибольшая вероятность неудачи! засушено, залито, темно, холодно, сыро, сухо, почва не подходящая и т. п...

есть такое заболевание "чёрная ножка", видимо почва заразная

Елена правильно говорит - причин несколько. А гадать на кофейной гуще - это не сюда. Можно только сказать, что прав Александр Федорович - семена низкого качества. К сожалению, от покупки таких сейчас никто не застрахован, так что просто запомните их и тех, кто их сделал, а так же и тех, кто вам их продал - и в другой раз 10 раз подумайте, прежде чем у них семена брать.

Ну, допустим, "черная ножка" погубила ваши всходы (да-да, она их уже погубила, и оставшиеся скорей всего не выживут). Но даже у простой "черной ножки" - много причин.

Надо было конечно перед посевом обработать грунт, обеззаразить. Томаты всходят очень быстро, за несколько дней буквально. Поэтому пересевайте, только грунт обработайте от грибков. Я всегда протравливала семена в марганце перед посевом.
https://ogorodoved.com/vyrashhivanie/kak-zamochit-semena-pomidor-v-margantsovke.html

Обычно от черной ножки погибают. Перелив, прохладно. Конечно подробнее и фото посмотреть.

Покажите фото для наглядности. И расскажите, как именно погибают. Сгибается стволик и они падают? Или листья отваливаются один за другим? Еще про режим полива тоже. Возможно вы их заливаете или засушиваете, черная ножка, сухой воздух

Ключ к этой загадке, видимо, кроется в фразе: "За 3 недели взошло 5 шт".
Нормальные семена так долго не всходят. 11 марта посеял семена 7-летней давности для открытого грунта - взошли на 5-ый день

Инфекция