Вредно ли для здоровья делать по 500 отжиманий в день? По несколько подходов разумеется, не за раз.

Нет! Отжимайся сколько хочешь.

Нет... Не вредно...

Дело не в том сколько раз ты отожмёшся, а в том что делать упражнения правильно и во время отжиманий думать об этом и чувствовать как напрягаются именно те мышцы которые и должны работать при этих упражнениях исключая читинг.

Да какой может быть вред? Только польза: развиваются трицепсы и пресс, частично - грудные мышцы. И полезную нагрузку получает сердечно-сосудистая система.
Если к концу дня и на следующее утро не чувствуешь упадка сил и разбитости - значит, организм успешно справляется с нагрузкой, можно продолжать тренировки.
-------------
Три года назад я летом делал 2 - 3 раза в неделю за тренировку по 200 - 300 отжиманий. А потом пошел в горный поход и решил там делать 500 отжиманий в день. Должен сказать, не каждый день удавалось набирать это количество. И давалось это нелегко - приходилось прилагать значительные волевые усилия, чтобы за 1 подход отжиматься по 50...80 раз.
Было мне тогда 56 лет. Последнее время сильно обленился, но к будущему лету планирую вернуть былую форму.

да, это перегрузка

Если легко даёт через полмесяца значит не отжимаешся а двигаеш тазом или амплитуда 1 сантиметр. Если отжиматься как положено то для 500 раз надо быть мастером спорта. А вообще нагрузки надо повышать очень осторожно, сердце испортишь, а оно не лечится.

на протяжение дня не вредно.

Смотря, что ты чувствуешь. Если тебе больно и ты жутко устал, тогда лучше прекратить.

Да хоть умри!