Какую роль играют градусы в натальной карте? Чем отличается, например, Луна в первых градусах от ней же в последних?

Да никакую. Кто чего надумал про градусы, тот так и и говорит. А вот в начале Знака, или в середине, или в конце - хорошо видно уже по транзитам. Аспект планеты работает начиная со Знака. И когда достает до точного, то сколько времени тебе дается Богом от его начала?

Возьмем конкретный пример:
луна в 4 градусе Козерога: человек любит участвовать в организации различных увеселительных мероприятий. часто организовывает прогулки не только по реке на лодках, но и просто различные вечеринки и сабантуйчики.
И даже если это не бизнес, то как минимум - форма отдыха для семьи.
Луна в 16 градусе Козерога: человек может участвовать в мероприятиях связанных с физкультурой на детской спортивной площадке, быть тренером в детской спортивной группе, или просто стараться прививать собственным детям любовь к спорту.

=Каждый градус Зодиака представляет собой один идеальный день Рапитвины. и представляет собой Вселенский круг в миниатюре, отражая в себе словно в частице голограммы различные срезы целого. При этом каждый градус Зодиака - целостен и самодостаточен, он содержит в себе совокупность всех космических законов, проявленных в микроструктуре.
Вкаждом градусе содержится огромный пласт информации, которая не сводится к какому-то одному, или даже нескольким понятиям. По своей структуре и значимости, она является многоуровневой, многомерной. Какие из уровней информации заложенных изначально в градусе, - реально проявятся в жизни человека - зависит от духовного уровня развития самого человека, общеэволюционного уровня развития самого человека. =
(из книги заочной школы астрологии Павла Глобы, "Градусы Зодиака",астрономическо-астрологическое общественное объединение =Астра= 2002-й год,)

Первые пару градусов и последние любого знака условно считаются пограничными и имеют влияние соседнего с той стороны знака в том числе. Это для любой плоны и не только Луны.

знак делится на три декады - по 10 градусов, каждая последующая декада принадлежит последующему знаку той же стихии Телец-Телец, телец-Дева, Телец-Козерог, планета в какой либо из декад знака имеет отношение к делам дома, содержащий знак декады Например Меркурий в 13 градусе Водолея принадлежит также и делам 9 дома, который находитс в близнецах Из этого можно сделать вывод что человек владеет иностранным языком (как один из выводов - смотря какую сферу жизни вы рассматриваете)
В классической астрологии каждый градус имеет значение например"в 9 градусе Рака в гороскопе Христа вместе с Селеной находится звездное скопление Ясли. Символическая характеристика этого градуса - Жертвенный агнец на алтаре"(из статьи Б. Романова Зороастрийский гороскоп Христа"

Планете в первых градусах знака легче проявить себя, чем в последних. Есть мнение, что планета в последних градусах просто не выполняет своих обещаний, т. е. не вытягивает тему за которую отвечает в гороскопе.

Сабианские символы + каждый градус принадлежит планете.