Умер ответственный квартиросъемщик!

На оплату коммунальных услуг статус "недееспособный" никакого значения не имеет. Ни к чему это. если квартира не приватизирована, то должен быть договор социального найма, заключенный между отцом и администрацией. Приватизируйте квартиру, а потом как полагается в процессе жизнедеятельности, поймете, что делать дальше. В случае смерти отца (извините) вы будете являться наследником первой очереди, если, конечно же наследников больше нет. Но вот можно обратиться в администрацию, для признания гражданина малоимущим, что даст право на снижение платы за ком. услуги. Для этого собираются сведения обо всех доходах граждан, зарегистрированных в данном помещении. Проконсультируйтесь у специалиста, который занимается данным вопросом представив документы соответствующие, стоит ли вам все это затевать.

Нет никакой разницы, на кого из оставшихся жильцов переоформлять договор найма. Права у всех равные. Можно оформить и на отца, и на сына - как удобнее. Никаких "первоочередников" в вашем случае нет

По Семейному кодексу "ответственный квартиросьемщик" не назначается. Во-первых, СК РФ не регулирует жилищные правоотношения, во-вторых, ответственных квартиросьемщиков по действующему ЖК РФ уже давно нет.
Так что на основании заявления нанимателем жилого помещения будет зарегистрирован сын - без особых проблем.. .
Кстати, никаких ордеров уже нет, нечего переписывать.

если квартира муниципальная, то не имеет значения с кем заключен договор социального найма

По-моему, этот вопрос можно решить простым написанием заявления в жилконтору от отца с просьбой считать ответственным квартиросъемщиком своего сына, тогда перепишут ордер

А завещание было?
Если да, то первоочередность согласно завещанию