может ли мать прописать новорожденного, если она НЕ СОБСТВЕННИК жилья?

Для того, чтобы прописать ребенка до 14 лет к родителям или одному из родителей нужен лишь паспорт родителей с пропиской по данному адресу и свидетельство о рождении ребенка. Согласие собственника, а тем более остальных прописанных не требуется.
В п. 80 Административного регламента предоставления ФМС государственной услуги по регистрационному учету граждан РФ по месту пребывания и по месту жительства в пределах РФ, утвержденный приказом ФМС России № 208 от 20.09.07г говорится: «Регистрация по месту пребывания и по месту жительства несовершеннолетних граждан к родителям (усыновителям, опекунам, попечителям) , проживающим в жилых помещениях, принадлежащих иным гражданам на праве собственности, осуществляется независимо от их согласия» .
Т. е. прописать несовершеннолетнего соседка может.
У Вас вариант один - не ждать, а начать выписку этой соседки из квартиры в судебном порядке. Основания для данной выписки - её фактическое проживание в другом городе и вряд ли она оплачивает в Вашей квартире коммунальные платежи (ещё одно основание для суда к выписке).

Так через суд выселите ее как бывшего собственника!! ! Она может зарегистрировать

женщина сможет зарегистрировать своего новорожденного ребенка по месту своей постоянной регистрации
она не должна показывать свидетельство о праве собственности, достаточно своего паспорта

Может зарегестрировать своего несовершеннолетнего ребёнка по месту своей регистрации и для этого ей не нужны документы на собственность

В России нет такого документа, как "договор на собственность".
По моему вы уж очень сильно ударились в фантазии, таким как вы в Госдуме самое место, придумывать и принимать феерические законы.