Как правильно написать письмо от покупателя квартиры продавцу, в котором он давал бы гарантию покупки этой квартиры.

Гарантийные письма бывают между организациями за подписью руководителя, глвбуха и заверенные печатью. Я не имею юрид. образования, но это жизненный опыт. Нада составить "Договор о наметениях"- это и будет частью гарантии.

есть предварительный договор купли-продажи или договор о намерениях. в нем прописываются все эти условия.
шаблоны есть в интернете

Этот документ - соглашение об авансе, предварительный договор или просто расписка.
В нем продавец получает деньги (дает расписку на них) и берет обязательство продать на согласованных условиях квартиру.
Условия в документе ОЧЕНЬ ВАЖНЫ.
В документе также указываются штрафы в случае невыполнения условий по чьей-либо вине.
Тексты соглашений разнятся в разных агентствах. Нет смысла приводить здесь. У Вас должен быть риэлтор с таким текстом. Если риэлтора нет ни у Продавца, ни у Покупателя, то лучше вообще выходить на сделку с устным соглашением.
Есть различие между АВАНСОМ и ЗАДАТКОМ, задаток подразумевает возвращение в кратном размере при невыполнении условий. Т. е. в Вашем случае - только АВАНС.
Помните, что заключение такого соглашения более важно, чем сама сделка. На внесении аванса определяются ВСЕ СУЩЕСТВЕННЫЕ условия продажи - цена, документы, справки, место и дата сделки, форма оплаты, комиссии и гарантии, сроки освобождения и передачи квартиры.
На случай, если риэлтора нет - мой тел. (963) 680-03-48, Виктор.