Мой ребёнок является единственным собственником квартиры. Может ли он подарить (продать) 1/3 долю своей бабушки

Если ребенку еще нет 14 лет, от его имени дарение запрещено.
Если ему есть 14 лет, то он вполне может подарить долю в квартире бабушке, но только с письменного согласия законного представителя-мамы и органов опеки. А вот даст ли опека на это согласие-это уже надо выяснять в самой опеке. Обьяснять, для чего это нужно, что взамен будет этому ребенку. А там решать опеке.
Продать можно<хоть сколько лет ребенку (и бабушке тоже можно, маме с папой -нет, а бабушке-вполне ).Но опять-таки -ОПЕКА. Вот у нее и спрашивайте-именно у своего инспектора.
А нафига вообще Вы собираетесь все это делать? Может можно найти другое решение возникшей проблемы? Может бабушку просто прописать в эту квартиру, если дело в прописке? (типа она там живет)

Договор мены надо заключать этой долю на другую, чтобы не меньше была, тогда опека разрешить

С падежами у вас беда.
Ребенок долю бабушки продать не может- нет правомочий собсвтенника у него, и вряд ли бабушка выдаст, а нотариус заверит, доверенность бабушки на несовершеннолетнего: совершать сделки от имени и в интересах бабушки.
И продать несоверш. ребенок не может своей бабушке свою долю, потому что сделки между несоверш. и их близкими родственниками, а также родственниками их родителей- запрещены законом (ст. 37 Гк РФ) . Подарить бабушке ребенок тоже не может
Вселить бабушку надо? Вселяйте ее в качестве члена семьи собственника- вы даете согласие от имени несоверш. ребенка как законный представитель- родитель.

Вряд ли опека разрешит.

Бабушка тут не причем Статья 30. Права и обязанности собственника жилого помещения

1. Собственник жилого помещения осуществляет права владения, пользования и распоряжения принадлежащим ему на праве собственности жилым помещением в соответствии с его назначением и пределами его использования, которые установлены настоящим Кодексом.
Законным предствителем являтся его мать и согласие органов опеки .

ничего ребенок продавать и дарить не может.
сделки совершаются его законными представителями только с согласия органа опеки и попечительства