Дарственная. Кто является собственником?

Так это от вас зависит -- если вы в Росреестре зарегистрировали своё право, то в выписке будет указано ваше имя. А если нет, то откуда ж они узнают.

Оформить переход права собственности нужно при жизни бабушки. Потом будет поздно, начнётся наследование.

собственник вы

Бабушка не могла "оформить дарственную" без Вашего участия. Регистрировали ли договор дарения в Росреестре?

Я очень часто сталкиваюсь с тем, что произнося слово "дарственная" люди на самом деле имеют в виду ЗАВЕЩАНИЕ.
Антон, так что же все-таки оформила бабушка? Если Вы ничего сами не подписывали-то это однозначно завещание.
И собственником до самой смерти будет являться бабушка. А Вы станете собственником (да и то не факт-всяко бывает) только когда бабушка умрет. Оформив у нотариуса наследство.

аы но надо переоформить квартиру.

На данный конкретный случай собственником недвижимого имущества является бабушка. Чтобы вы стали собственником договор дарения надо зарегистрировать в юстиции.

Оформила без Вас? При оформлении Дарственной у нотариуса или просто у юриста, когда составляется Договор Дарения, присутствуют два человека - Даритель и Одаряемый, т. к. ставятся подписи в договоре. Если Ваша бабушка что то там составила без Вас - то это она мутит, такого не может быть. Стать полноправным хозяином квартиры возможно тогда, когда договор Дарения в присутствии Дарителя и Одаряемого сдается в Регистрационной палате на переоформление. Спустя 20-30 дней Одаряемый приходит уже один и забирает новое свидетельство о регистрации, где он уже вписан как единственный собственник квартиры.