куда обратиться по поводу завещания на жилье?

Вы, для начала, узнайте в чьей собственности квартира. Если в муниципальной, то и не было никакого завещания.

нет в РОссии ужен давно ответственных квартиросъёмщиков. О завещании можно узнать у нотариуса района

Выписку из ЕГРН взять о зарегенных правах на объект (по адресу этой квартиры) и переходе прав, и аналог. выписку заказать в БТИ или уполном органе местном, где регились права и сделки до 98 года.
Будет понятно, у кого квартира в собственности в н. в., и у кого была в собственности ранее.
Может вообще квартира муниципальная до сих пор ( вы пишите про мать- "основную квартиросъемщицу" с какого-то....).
Неизвестно, сколько лет вашему мужу.
Почему он столько лет спал в одном ботинке и не занимался наследством, достигнув совершеннолетия.
Если действительно квартира была в собственности у бабушки,
и бабушка завещала внуку (вашему мужу), и он на дату открытия нааследства несовершеннолетний, то его мать, как законный представитель должна была от имени и в интересах несоверш. ребенка совершить юрид. значимые действия по принятию наследства, получению свидет. о праве на наследство на сына, регистр. права собственности на квартиру на сына.
Почему мать спала в одном ботинке (или просто гиена), и зачем заныкала завещание - нам неизвестно.
С доками из БТИ, ЕГРН (если там бабушка собственник до сих пор), ваш муж может к нотариусу отправиться и заявить, что он принял наследство бабушки фактически в срок (вот доказательства), что он явл. наследником бабушки по завещанию, свид. о смерти бабушки предоставит, и просить выдать ему свидет. о праве на наследство, заявит, что знал о завещании от своей матери, но оно не сохранилось, подаст нотариусу заяву на розыск завещания.
Нотариус будет выяснять, по реестру завещаний что там было или нет.
К юристу сходит до обращ. к нотариусу- проконсультир. по доказательствам фактич. принятия наследства- собрать их и с ними к нотариусу.
---------------
Может там по выписке из ЕГРН сюрприз ждет вашего мужа- мать его например собственник- приняла наследство как дочь- наследник первой очереди по закону,
не говоря уже о том, что квартира в наследств. массу бабушки не входила, ибо муниципальная например.

Если мама готова вернуть сыну квартиру, то зачем бегать по архивам? - просто договор дарения 3 экз. и в РосРеестр 2000 рублей.
кто собственник сейчас? Мама? Только она?

Завещание на муниципальную квартиру? Вопрос некорректен

Что означает основной квартиросъемщик?
Это понятие применяется только к муниципальному жилью.
А завещать можно лишь жильё в собственности.
1) узнайте какой статус имеет квартира.
2) сходите к нотариусу и сделайте запрос было ли завещание.