Муж единоличный собственник квартиры. Может ли жена по доверенности зарегистрировать за собой право на нее?

Не можете. Пусть муж дает доверенность на 3- е лицо, если сам не может участвовать в сделке

На каком основании регистрировать это право? Муж ей дарит квартиру?

Не может, потому что нет таких полномочий у жены.
Такие полномочия- регить сделки и права собственности - у Росреестра.
-----------
Если у мужа в собственности жилое помещение,
и он хочет подарить его жене,
и жена согласна принять дар,
то стороны заключают договор дарения в простой письм. форме.
Юрист составит и оформит договор дарения, стороны- подпишут/заключат договор.
Потом стороны договора обратятся с заявлением в управление Росреестра или МФЦ о регистр. перехода права на одаряемого на основании договора дарения.
-----------
Вариант,
когда на основании нотариал. доверенности мужа, действуя от его имени и в его интересх жен дарит договором дрения сама себе его квртиру, и сама же подает на основании договор дарения и доверенности заяву о регистр. перехода права на себя- не рассматриваем, ибо стремный вариант.
---
ч. 3 ст. 182 ГК РФ:
Представитель не может совершать сделки от имени представляемого в отношении себя лично, а также в отношении другого лица, представителем которого он одновременно является, за исключением случаев, предусмотренных законом.
Сделка, которая совершена с нарушением правил, установленных в абзаце первом настоящего пункта, и на которую представляемый не дал согласия, может быть признана судом недействительной по иску представляемого, если она нарушает его интересы. Нарушение интересов представляемого предполагается, если не доказано иное.

А внятно спросить? Если уж Вася Хабибулин и его ответ вам без пользы, то что вы хотите узнать?

Что Вы подразумеваете под "зарегистрировать право на нее"? Купить? Получить в дар?

По какой доверенности?