Какие слова исторически не родственны друг другу?

Решайте сами.

Меломан (от греч. melos — пение и mania — безумие, восторженность, страсть; фр. mélomane; итал. melomane; англ. melomaniac, music lover) — страстный любитель музыки, пения.
Маньяк (фр. maniaque, от греч. mania — безумие, восторженность, страсть) — человек, одержимый какой-либо манией. В переносном смысле — человек, испытывающий сильное пристрастие к чему-либо.

Генетика (от греч. γενητως — происходящий от кого-то) — наука о законах и механизмах наследственности и изменчивости. В зависимости от объекта исследования классифицируют генетику растений, животных, микроорганизмов, человека и другие; в зависимости от используемых методов других дисциплин — молекулярную генетику, экологическую генетику и другие. Идеи и методы генетики играют важную роль в медицине, сельском хозяйстве, микробиологической промышленности, а также в генетической инженерии.

Джентльмен (Gentleman) — мужской образ, сформированный в викторианскую эпоху. Изначально слово джентльмен означало мужчину благородного происхождения (это было базовым определением аристократа, следующим званием было — эсквайр) , но потом так стали называть образованного и воспитанного мужчину, практически интеллигента, но гораздо более респектабельного и уравновешенного (чопорного и невозмутимого) . Джентльмена отличает элегантность, пунктуальность и умение держать слово (джентльменское соглашение) .
В Средние века словом джентльмен называли членов нетитулованного дворянства — Gentry, к которому относились рыцари и потомки младших сыновей феодалов (в соответствии с майоратом титул наследовался только старшим сыном) .

Гардемарин (фр. garde-marine, «морская стража» ) — звание в российском императорском флоте, существовавшее с 1716 по 1917 год. С 1716 по 1752 и с 1860 по 1882 годы звание гардемарина в российском императорском флоте существовало как строевое, в остальное время гардемаринами называли воспитанников военно-морских учебных заведений.

Карий - КАРАКОВЫЙ - конь, каракулый стар. темногнедой, почти вороной, с подпалинами, желтизною на морде и в пахах; подходит к мухортому, который светлее, а подпалины шире. каракула ж. караковая лошадь. вороная в каракулах, в черных же, масляных яблоках. карий, о глазах и о масти конской: карие глаза, бурые, каштановые, кофейные; каряя лошад, самая темная гнедая, но посветлее караковой; стан почти вороной, и только на ногах заметен буроватый отлив, а вдоль спины ЧЕРНЫЙ ремень. черный глаз, карий глаз - минуй нас! выплакала я карие очи.

Карниз - (нем. Karnies; первоисточник: греч. korwniV - заключение, конец) – горизонтальный выступ на стене, поддерживающий крышу (покрытие) здания и защищающий стену от стекающей воды; имеет также декоративное значение. Карниз бывает верхний (венчающий, например, в антаблементе) и промежуточный.

ФАЛЬШЬ, фальши, мн. нет, жен. (нем. falsch от лат. falsus - ложный, неверный) .
1. Неискренность, притворство, лицемерие. В его поведении есть какая-то фальшь. «Ошибка в фальшь не ставится. » погов. «Всё, что он делал и говорил сам - казалось ему такой фальшью и ложью. » А. Тургенев.
2. Обман, злоупотребление, мошенничество. Обнаружена фальшь в раздаче карт.
3. Неверное пение или игра на инструменте вследствие неточности слуха или слабой техники.
В искусстве - отсутствие естественности, искусственность, противоречие художественной правде. Искусство не терпит ни малейшей фальши. Фальшь в исполнении роли Онегина.

Фальсификация (лат. falsificatio, от falsifico — подделываю; итал. falsificare — подделывать) — подделка, изменение (обычно с корыстной целью) вида или свойства предметов.

посмотрела по этимологическим словарям и вот.

Меломан - маньяк. и там и там есть часть слова "man" - одержимость. с греч.
гардероб-гардемарин. в двух словах "гарде" - хранить с франц.
карий - карниз. "кара" - черный с тур.
фальш - фальсификация. - Происходит от ср. -в. -н. valsch, из falsus «ложный, неверный» , из fallere «вводить в заблуждение, обманывать» .

остались "генетика - джентельмен". значит, ответ генетика - джентельмен .
=)