правитель этого огромного государства вынужден был жить в "сарае" Какое государство?

Сарай-- столица Золотой Орды в XIII-XIV веках.
Город Сарай-Берке построен в 1262 году ханом Берке.
С 1282 по 1396 год город был столицей Золотой Орды. Один из крупнейших городов Востока. После 1361 года Сарай-Берке неоднократно захватывали разные претенденты на ханский престол.
В 1396 году разрушен Тамерланом.

Внук Чингизхана - Батый там жил. Государство - Золотая Орда.

Правитель Золотой Орды хан БАТЫЙ жил в столице г. САРАЙ-БАТУ (близ совр. Астрахани)

ЗОЛОТАЯ ОРДА, улус Джучи, феодальное государство, основанное в нач. 40-х гг. 13 в. , во главе с ханом БАТЫЕМ (1236- 1255), сыном хана Джучи. Центром 3олотой Орды было Нижнее Поволжье, где при БАТЫЕ столицей стал г. САРАЙ-БАТУ (близ совр. Астрахани) , в 1-й пол. 14 в. столица перенесена в Сарай-Берке [осн. ханом Берке (1255- 1266), близ совр. Волгограда] .
Большая Советская Энциклопедия

САРАЙ
уже у Арсен. Сухан. , 1651 г. , 120. ЗАИМСТВ. ЧЕРЕЗ ТУР. , КЫПЧ. , УЙГ. , ТАТ. SАRАI "ДОМ; ДВОРЕЦ;
каравансарай; комната для жилья; стойло; тележный сарай". Из перс. sarai, sara "дворец" (Радлов 4, 315; Хорн. , Npers. Еt. 161); см. Мi. ТЕl. 2, 155. Перс. слово восходит к др. -ир. *sraa-, которое родственно гот. hrot "крыша" (Лиден, Studier tillegn. Аd. Nоrееn 432 и сл.) . К тому же источнику через посредство франц. serail следует возводить и серай, сераль. Сюда же Сарай – город на нижней Волге (Лаврентьевск. летоп. под 1261 г.) , ср. -греч. (ХIV–ХV вв. ; см. Моравчик, Вуz. Тurс. 2, 228); ср. Соловьев, Ист. России I, 841
Этимологический русскоязычный словарь Фасмера

Сарай- это тюркское слово, обозначающее Дворец. Караван-сарай-это постоялый двор для торговцев на Востоке. Ханы Золотой орды основали столицу где-то в низовьях Волги, в районе нынешней Астрахани. Первая столица называлась Сарай- Бату, то есть дворец Батыя, а вторая столица- Сарай-Берке. ( новый дворец, или новая столица) Малый Сарай или Сарайчик находится в Гурьевской области в состоянии разрушенном. Все три сарая находятся в трех областях Поволжья- Астраханской, Волгоградской и Гурьевской.

золотая орда
столица караван-сарай))

орда, орда да при том золотая со столицей караван-сараем

Золотая Орда