Помогите найти ответ! Может ли одно и то же высказывание о будущем времени быть одновременно истинным и ложным?

Строго говоря, в логике высказываний утверждение может быть либо истинным, либо ложным, но не одновременно. Речь может идти лишь о высказывании, истинность которого неизвестна, но как только оно станет известным - это всегда будет лишь одно из возможных значений. Поэтому, если не выходить за рамки логики высказываний, то ответ на ваш вопрос - нет, не могут.

Однако, с некоторой натяжкой, можно считать, что утверждения с неизвестной истинностью - одновременно истины и ложны. То есть, при выполнении вывода с таким утверждением нужно рассмотреть обе альтернативы. К примеру, подбрасывая монетку можно сказать "Сейчас выпадет "орел". Когда монетка упадет, это утверждение действительно может оказаться верным, а может и нет. То есть пока монетка летит оба варианта равновероятны. Такое состояние можно, наверное, считать смешанным.
Чтобы окончательно запутаться, почитайте про кота Шредингера.

В обычной логике любое высказывание может иметь
одно из двух значений - истина или ложь. Вероятно,
здесь речь идет о каком-то словесном фокусе - или
это шутка.

....вроде как "завтра будет дождь"....

"Кот Шрёдингера жив".

А если по логике, то любое утверждение или высказывание о будущем (именно о будущем), является одновременно и ложным и правдивым, вплоть до наступления времени его осуществления. Так как до момента его осуществления, оно является неопределенным. А соответственно, в будущем любое утверждение может стать правдивым, в случае если то что утверждалось произойдет. В такой же равной степени и с такой же вероятностью, любое утверждение в будущем может оказаться и ложным, в случае если утверждаемое не произошло.
Итог достаточно прост - любая неопределенность (а ею может быть только будущее), является и ложной и правдивой одновременно.