шары расположены в форме треугольника так что в первом ряду 1 шар во втором -2 в третьем -3 и тд

Если рядов n, то шаров n(n + 1)/2. Докажи!
Ответ: 15 рядов

задача для использования метода математической индукции.

Состоит из двух этапов.
1) написать формулу для вычисления суммы Sn ряда и доказать, что она верна
для начального небольшого значения n, например для n= 1 или n=2.
При этом Sn учитывает формульный вид для члена ряда A(n) .
2) Доказать, что та же формула Sn +A(n+1), если в неё подставить k= n+1
может быть преобразована в другой вид Sk, по написанию отличающийся от Sn только заменой буквы n на букву k/

Если для какого-то значения n+1 формула верна лишь потому, что зависит только от предыдущего n, и для n она тоже верна, то ясно, что всякая сумма по этой формуле верна для любого последующего номера.

S1 = A1 =1 - так нам фактически задано
Пусть n=2
An=n гипотеза (формула) для члена ряда
Sn=S(n-1)+n - гипотеза для суммы ряда . Это мы должны изобрести при остроте ума.
Проверим при n=2
S2=S1+A2=1+2=3 верно, потому что второй член тоже задан A2=2

An=n
Sn=S(n-1)+An верно для начала, при n=2

К прежней сумме добавим следующий член
S(n+1) =Sn+A(n+1)
подставим гипотезу для члена
S(n+1) =Sn+(n+1)
n+1= k подставим в новую сумму

S(k)=S(k-1)+n+1
S(k)=S(k-1)+k
Сверим с формулой-гипотезой для предыдущего этапа
Sn=S(n-1)+n - гипотеза для суммы ряда
Разницы нет.
Доказано, что любой тр-к со стороной n содержит шаров
Sn=S(n-1)+n

Правда правильней было бы начать с n=1, но надо было бы определить, что такое сумма S0.

Другая гипотеза более мудрая, но доказывается точно также
Sn=(n+1)*n/2
Докажите её и легко тогда посчитаете не последовательным вычислением сумм, а сразу, сколько шаров на стороне при Sn=120
Sn = 120= (n+1)*n/2
(n+1)*n/2 -120 =0
n^2 + n -240 = 0
n=15

Замечу, что гипотезы могут быть совершенно разные, часто они применяются для рядов, последовательностей.
Например, число Пи представляется в виде сумм совершенно различных рядов, десятками разных способов, .
То же касается и тригонометрических функций.

Бильярд наверное?

Все просто.
Пусть х - кол-во рядов. Тогда последний член ряда равен:
Последний = первый + (х-1)* разность = 1+(х-1)*1= х

Сумма прогрессии = (Первый + Последний) /2*х, или

(1+х) *х/2=120.

Уравнение решить, наверно, сможешь)))