Убивал ли Иван Грозный своего сына Ивана

Да, убивал.
В царских палатах 3 июля 1583 года случилось одно из наиболее загадочных и непонятных убийств шестнадцатого века. Сын Ивана Грозного, Иван Иванович, был убит собственным отцом. В припадке гнева царь ткнул своего отпрыска что есть сил посохом в висок. Удар был точным и сильным – царевич скончался на месте. Удивительно и то, какого сына убил Иван Грозный! Самого любимого, старшего, того, на которого возлагал большие надежды, ведь второй его потомок, Федор, править страной был не готов изначально.

подозреваемый задержан...

Не факт. Зато в тканях и отца, и сына обнаружено высокое содержание ртути и мышьяка. Погибали таким образом и предки Ивана Грозного, которых лечили иностранные врачи.
Cui prodest, как говорится.

В настоящее время ведётся следствие. Пока у следствия имеются только разрозненные диаметрально противоположные показания свидетелей. Вердикт о виновности или невиновности Иоанна Васильевича Рюриковича, по кличке Иван IV Грозный, по окончании следствия вынесет суд, и только на основании судебного решения обвиняемого можно будет назвать преступником или снять с него обвинения.

Поддерживаю ответ @Sagitta. Царь Иоанн Грозный, вроде бы, стукнул своего сына по башке жезлом, но нет никаких доказательств что этот удар оказался не только смертельным, но и, вообще, сколько-нибудь серьёзно-травматическим . Царевич умер значительно позднее, и причина смерти осталась невыясненной .

Пока еще точно не определились, известно, что царевича Ивана лечили и приезжали из Москвы в Слободу лекаря. Хлопотал сам Иван Грозный. Иван Грозный великий князь московский и всея Руси: правление, политика, реформы https://densegodnya.ru/kultura/article_post/ivan-groznyy-velikiy-knyaz-moskovskiy-i-vseya-rusi-pravleniye-politika-reformy