Может ли король передать трон своей фаворитке (матери его же сына) или нет?

Кто ж ему даст... Есть законы престолонаследия, очередь к трону по степеням родства.
В наше просвещенное время английского короля вынудили отречься от престола, чтобы он мог жениться на разведенной американке. Какие фаворитки?

В АФРИКЕ МОЖЕТ

А что это Вас так волнует? Вы - сын фаворитки?

Петр 1 посадил Марту Скавронскую (Екатерину 1).

Старшему сыну!

абсолютный монарх может все, конституционный - только то что ему позволено законом.
Только усидит ли фаворитка на троне?

В России до Петра I женщина не имела права быть монархом: княгини и царицы были лишь жёнами монархов.
Но в 1722 году Пётр издал «Указ о престолонаследии». Теперь монарх мог назначить своим наследником кого угодно (не обязательно жену или любовницу).

В других странах было по-разному: в одних женщина не могла быть монархом, в других - могла, но только дочь (а не жена). Случаев, когда монарх смог удачно передать посмертно свой престол любовнице, не женившись на ней, я не припомню.

Может ли абсолютный монарх передать власть своей любовнице? Если в средневековье - может, но как только ему закроют глаза - убьют и любовницу и королевского бастарда. С бастардом то же самое (если всем известно, что он бастард, то есть незаконнорожденный). Короли как правило таких самоубийственных поступков не совершали.

P.S. Тут про Екатерину I писали, но она не любовница и не фаворитка, а законная жена Петра I. То, что он жил с ней до брака, не делает его потомство от неё незаконным.

Только сыну. Его мать он может назначить регентшей (фактической правительницей вместо сына, который король номинально), но только если он несовершеннолетний.

Нет. Но регентом может назначить.

А какая разница, фаворитке или сыну? В любом случае расклад должен быть такой, какой был в России. Формально на престоле была Екатерина Первая, реально правил Меншиков. Опытный управленец, который мог позаботиться о защите и себя, и фаворитки от дворцовых переворотов. И который был заинтересован в сохранении фаворитки как удобной ширмы.
Т. е. фаворитке в любом случае никакой реальной власти не светит.

Нет, незаконнорожденные не могут занимать пост правителя

Незаконнорожденные не имеют право на трон, но существуют процедуры признания. После их проведения бастард становится законным наследником. Обычно признавали в случае отсутствия законных наследников для того, что бы династия не обрывалась.