Действительно ли Русь спасла Европу от монголов в 13 веке или при желании они могли ее завоевать?

Да, есть такая теория, что Русь остановила собой нашествие татаро-монгольских кочевников и на Европу у них тупо не хватило сил. Но эта теория признаётся не всеми. Некоторые историки считают, что тогдашняя Европа могла бы и дать отпор. Другие считают, что монголы в любом случае не попёрли бы на Европу, так как их империя достигла предела связности (донесение из одного конца империи в другой шло по году) и появились центробежные тенденции, рано или поздно приведшие бы к кончине империи. Так что тут однозначного ответа нет. Лично я склоняюсь к точке зрения, что Русь в любом случае сыграла важную роль в ослаблении натиска монголов.

Анатомия монголов заточена под холодный климат. В тёплых регионах, в том числе, в Западной европе монголы начинают просто гнить заживо. И хохлы здесь ни при чём))

...Может быть, и не всю Европу, но - спасли. А не сдались на "милость победителям".

если быть абсолютно точным, то все войны шли вокруг Палестины (нынешнего Израиля)
монголы шли с Востока, крестовые походы - из Европы
и все эти войны не угрожали ни Востоку, ни Европе

так уж случилось, что Россию эти войны задевали постольку поскольку
то есть, лишь частично

иными словами, Россия не могла влиять на войны востока и запада против Иерусалима

Татаро-монголы хотели завоевать Европу. Но во-первых, их войско было ослаблено войнами с русскими войсками. А во-вторых, во время одного из таких военных походов умер их хан и они вынуждены были вернуться обратно. Обе эти причины заставили их отказаться от завоевания Европы. Так что европейцам дико повезло, пока Русь воевала с татаро-монголами, они там у себя могли спокойно развивать науку и другие области.
Кстати, во многом отсюда и идёт мнение что Европа развитая, а Россия отсталая. Постоянные войны и с татаро-монголами затормозили развитие Руси.

Им нужны были степи. Их они и завоевали. От Китая, Индии, Согдианы до Европы. Динамическая карта - https://ru.wikipedia.org/wiki/Монгольская_империя
Про роль Руси написано много, повторяться не охота. На Руси были захвачены южные княжества, а Новгород (Северский) они и не тронули - отчасти те откупились, отчасти Александр Невский побратался с Сартаком.

Там вот какая морока произошла... Они Польшу прошли, до Сербии добрались. Хотели идти и дальше на запад, но самый главный хан как раз в тот момент откинул тапочки... Пришлось выбирать нового. Потому завоевания остановились.

Они ее и завоевали. Учи матчасть.

Не совсем так. Да при желании могли, но:
- Батый не хотел оставлять в тылу хотя и побежденную, но не покоренную Русь. К тому его войско сильно ослабло...
- Ему надо было незамедлительно явиться в Каракорум (Курултай- выбор хана)
- Его передовые отряды дошли до Адриатического моря т. о. осуществилась его мечта (И мечта его деда- Тэмучина) дойти до последнего моря. А разъезды Чингисхана вышли в свое время к Тихому океану т. о. Монгольская империя простиралась от "моря до моря"

Русь действительно спасла Европу, уничтожив третью часть монгольского войска.

Как Русь могла спасти от монголо-татар (не от монголов) в 13 веке, которые появились сначала на "бумаге" только после правления царя Петра 1 в 18 веке? Были тартарийцы - жители империи Великой Тартарии. И были моголы - жители империи Великих Моголов.
Почему татары сейчас с монголами живут отдельно? Да потому, что это другие народы, которых до 18 века не существовало. Русь - это Родовой Уклад (устройство) Страны.