Почему буква "ё" стала изгоем?

Потому что нашлись люди, которым лень ставить точки, и объявили войну этой букве.
Но изгоем буква не стала и, надеюсь, не станет.

не стала. стаус точно такой же, какой был с первого дня - это буква Е с дополнительными точками, указывающими особенность произношения. Обязательна в рукописном тексте и в печатных для младших школьников и иностранцев, изучающих русский. И все.

Главное - это не самостоятельная буква, а искаженное произношение буквы Е, потом и чередуется при смене ударения.

Хуже того, могут возникнуть большие проблемы,
если у тебя в свидетельстве о рождении Е, а в паспорте, к примеру, Ё.
Хотя раньше, при СССР, это было неактуально, буквы были взаимозаменяемыми.
И даже на кнопочных телефонах не было буквы Ё.

потому что причиной ее введения в алфавит, был зуд в левой пятке у кого-то из царствующих.
Волюнтаризм, в общем.

Зато легче стало выявлять шпионов и неучей.
Хотя я, при наборе, букву ё использую.

из-за двух точек

чё?

Для удобства машинисток.

Ну, да.
Город Байё (где тысячелетний гобелен) превратился в Байе.

А Стёлин - вообще в Стерлинг.

Люди сейчас пишут на клавиатуре. Она в углу. Её не видно. Ей пользоваться непривычно. И главное - на клавиатуре смартфонов этой буквы вообще не видно.
Ну когда компов не было... ясное дело эту букву не забывали.
Сейчас так прижилось уже. В статьях СМИ вроде тоже не используют.

Она как раз таки не стала изгоем.
Она фамилию у человека мгновенно меняет. Например, по паспорту Воробьёв, а по загранпаспорту - Воробьев. Поди докажи, что это одно лицо. Хотя у нас умудряются неправильно написать фамилию/отчество/имя. Ходят потом простые люди, страдают, все документы меняют из-за мрази, которая неправильно гражданину паспорт оформила.
На кой чёрт у нас вообще придумали дифтонги, всю жизнь только портят. Не проще ли писать "йо", "йэ", "йа", "йу"?

Так было угодно Карамзину, и с тех времён мы привыкли