Почему интеграл это первообразная функции?

Согласно доказательству теоремы. Плюс произвольная константа.

>Почему интеграл это первообразная функции?
Потому что это неверно. Интеграл - это предел суммы произведений f(x)dx. А то, о чем ты говоришь - это не определение интеграла, это теорема Ньютона-Лейбница. Которая, как и (почти) всякая теорема, имеет вполне доступное для понимания доказательство.

именно так и есть...
но у одной функции может быть множество первообразных...

ты путаешь 2 ипостаси.
1) Площадь - это определенный интеграл.
То есть это число, а не функция.
2) функции - производная и первообразная.

Как найти площадь?
Геометрически: разбиваем на бесконечно большое число бесконечно тонких столбиков - высота столбика - значение функции f от х в точке х, ширина - бесконечно малое дельта х, и сумма площадей этих столбиков и даст нам площадь под кривой.
Но тут выясняется, что эта самая площадь под кривой - тоже является функцией от х - F от х, причем f от x является прооизводной от F от x, а F от x - является первообразной для f от x .

Что такое интеграл? Это сумма (сборка, совокупность) дифференциалов.
Что такое дифференциал? Это долька от интеграла.
Всё это описывается геометрической моделью бесконечно малых столбиков.

Производная как скорость изменения функции в точке тоже описывается моделью этих столбиков, только немного с другим акцентом:
При интегрировании (суммировании) этих столбиков важно было произведение высоты столбика на его ширину (дельта х), то для производной - важна разница высоты соседних столбиков на расстоянии дельта х. Ведь "высота столбика" - это значение функции в точке. На сколько изменилась высота столбиков - это и есть изменение функции на участке дельта х.
Отношение этого изменения к этому участку - это буквально и есть скорость изменения функции - тут "временем" является х.
При дельта х стремящемся к 0 (т.е. при бесконечно малой ширине столбика) можно говорить о скорости изменения функции в точке.

Я эти пределы ненавижу, но исходная геометрическая суть у них очень простая.

Чтобы понять про производную как скорость изменения функции - тут надо взять перемещение (проще говоря, пройденный путь), скорость и ускорение - тут всё это в буквальном смысле: скорость - это буквально скорость изменения перемещения, а перемещение - это буквально первообразная скорости, ускорение - это буквально скорость изменения скорости - производная скорости, вторая производная перемещения.
Вот поупражняйся на простейших примерах пройденного пути при постоянной скорости - всё поймешь

Примерно весь первый семестр по выш мату в любом ВУЗе посвящён подведению к ответу на этот вопрос и самому ответу.

Ответ, собственно, здесь -- https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0_%E2%80%94_%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0#%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0
Нажмите кнопку "Доказательство".