подскажите, что случилось с моим банановым деревом: кончики листьев чернеют.

Всё чёрное на листьях от залива, отрегулируйте полив, пересадите в хорошую землю, осмотрите корни, нужно обрезать гнилые части. Места обрезки корней нужно присыпать толчёным древесным углём или пеплом, чтобы прекратилось дальнейшее загнивание.

Банан, это не дерево.
Банан, это трава. Бана́н (лат. Músa) — род многолетних травянистых растений семейства Банановые (Musaceae), родиной которых являются тропики Юго-Восточной Азии и, в частности, Малайский архипелаг.

Бананы - это трава. Поэтому один раз отплодоносив, растение ни на что не пригодно, и оно срубается под корень. Эта операция, как и стрижка газонной травы, провоцирует рост новых побегов, которые принесут новые плоды. Плоды укрываются синими сеткам - не от птиц, а от мелких насекомых, любящих жалить спелые бананчики. В принципе, никакого урона плодам они не наносят, но бананы от этих укусов покрываются черными точками и становятся неконкурентноспоосбными.

Желтые бананы вы никогда не увидите на ветке - они зреют только в срезанном виде.

Все больные дистья нужно удалить. Частые поливы приводят к загниванию корневой системы, в этом случае края листьев банана становятся коричневыми и высыхают, а рост прекращается даже при высокой температуре и хорошей освещённости. Растение нужно немедленно пересадить в новую землю, предварительно перемыв водой корни и обрезав острым ножом гнилые части. Места обрезки корней нужно присыпать толчёным древесным углём или пеплом, чтобы прекратилось дальнейшее загнивание.
Читайте про уход: http://www.flowers-house.ru/content.php?r=1269-Банан