Подскажите! Как правильно взять отросток? В воду ставить или сразу в почву?

У вас на фото вроде олеандр или адениум. У этих растений лучше черенки в грунте окоренять. Нужно учесть что щас осень на дворе поэтому перед укоренением черенок желательно в корневин обмакнуть.

Это не олеандр. Это кодиеум.
Черенок можно укоренить просто в воде или, например, в вермикулите. Чтобы не вял, нужна тепличка.

больше десяти лет выращиваю олеандр, всегда черенки ставил в воду, но вам посоветую поставить ваш олеандр впритык к южному окну пускай этот сучок до весны утолщиться, а потом в апреле вы этот подросший полу одревесневший черенок срежете и поставите в воду, даже можно с него сделать два черенка разделив пополам, а в данный момент эти черенки выглядят неважнецкий.
можете сфотографировать все растение, по этому фото я узнаю пока олеандр.
ЕСЛИ ТАКОЙ ЭТО ОЛЕАНДР

а почему вы уверены что это не олеандр? он тоже вырастает большим деревом.

Это не олеандр. У олеандра листья расположены супротивно или мутовками. А у этого растения очередное расположение листьев. Похоже на кротон.
Ствол характерный для кротона. И два маленьких желтых пятнышка видны на листе. Пятен мало от недостатка освещения.
Должен быть примерно такой ссылка
Размножать лучше весной. Укоренять в воде или в грунте, предварительно смыв тёплой водой млечный сок. Использовать стимуляторы корнеобразования.

я сторонник все таки легкого грунта и теплички

Лучше сначала в-воду, но не надолго, а то загниёт