У алоэ отвалились корни

Это не алоэ, а хавортия.
Haworthia pumila - Хавортия пумила
http://www.lapshin.org/succulent/o-haw29.htm
(с видом могу ошибиться - из-за ракурса)

как вариант может быть - Haworthia limifolia - Хавортия лимифолия
http://www.lapshin.org/succulent/o-haw25.htm

Хавортии, как и алоэ, прекрасно растут семьями, хотя конечно при желании - можно отделять деток.

То, что осталось от корней - однозначно от избытка влаги.
Либо было сильное переохлаждение корней при проветривании
+ большая посадочная ёмкость, в которой объём земли был с запасом на вырост (даже редкий полив сохранял влагу в незанятой корнями почве, что привело к угнетению корней, а потом и загниванию).

Сейчас советую аккуратно с помощью пинцета отделить все засохшие остатки листьев и корней - до живой ткани основания листовой розетки.
Сушить сутки, потом сажать в маленький горшочек с СУХОЙ ПОЧВОЙ.
Поливать через 7 - 10 дней понемногу, и дальше с таким же промежутком.

Для начала - это все таки Хавортия лимифолия, а не пумила. Но при таком освещении конечно фиг разберешь, не зная. )) На одном из листьев видны полосы, а форма листа широкая и плоская. У пумилы лист более округлый и с бородавками, без полос.

Корни жестколистных хавортий легко отгнивают по разным причинам - жара, болото, низкие температуры, жирная почва. Достаточно один раз перелить в холодную влажную погоду и ага.

Данному растению. Можно как есть просто поставить в сухой нейтральный грунт - перлит, вермикулит, сухой мелкий песок. И забыть на месяц. В таком состоянии раньше корни не даст. Можно изредка опрыскивать, раз в неделю например. Когда как следует засохнет - сама корни даст, если жить захочет. Или не даст.

А если хочется "по науке":
- Просушить неделю в сухом месте
- Ободрать всё тёмное (пробку) до светлого ствола
- Снова просушить
- Поставить в нейтральный грунт, прикопав свежую кочерыжку
- Поставить на яркий рассеянный свет, но не на прямое солнце
- Опрыскивать по мере полного просыхания грунта (в зависимости от окружающей температуры это может быть и 2 раза в день, а может и раз в 4 дня)

В воду Хавортии (в отличие от Алоэ) никогда не ставить.

Фото моей лимифолии с цветоносом. Тоже обросла кучей деток, которые пора уже выбрасывать.

подсушите хотя бы час и сажайте в чистый песок. Первый полив только через неделю и только через поддон совсем немного. Обильно поливать только когда отрастит корни.

Слушай, может проблема с грунтом и температурой. Алоэ не любит обильный полив и не требовательно к питательному грунту. Это растение для забывчивых, коем и я являюсь. Каждые два года срезаю половину листьев на отжим сока и раздаю родне-старушкам на лекарство, Обчекрыженное алоэ за два года снова превращается в куст. Правда летом алоэ переносим в нежилой дом и забываем поливать, как обычно. Грунт с огорода и не много поливаем (пару раз за год )жидкой навозной водой и всё.Раз в четыре года пересаживаю лично, опять же обычная земля с огорода.
О глянул на фото у нас разные виды, оказывается, не зачёт.