Сколько существует натуральных чисел у которых сумма цифр равна 2023 а произведение цифр равно 27

Заметим, что простой подмножитель 27, может быть представлен только как 3^3. Кроме того, сумма цифр равна 2023, что означает, что число должно содержать очень много троек. Давайте представим это число в виде последовательности из n троек. Тогда сумма цифр равна 3n, а произведение троек равно 3^n. По условию задачи:

3n = 2023

n ≈ 674.33

Очевидно, что это число должно быть целым. Значит, мы можем использовать только 674 или 675 троек. Однако, чтобы произведение чисел равнялось 3^3 = 27, нужно добавить еще две цифры, которые могут быть любыми. Например, это могут быть две едицицы. Тогда число, которое мы ищем, будет:

333...3331100...00,

где количество троек равно 674 или 675, а количество единиц и нулей равно 2.

Ответ: существует два натуральных числа, которые удовлетворяют условию задачи.

В числе должно быть много единиц и несколько троек. Например 27=3*3*3*1*...*1 (2023-9 единиц) или 27=9*3*1*...*1(2023-12 единиц), то есть число получается очень длинное, а тройки с девятками могут стоять в любом месте числа, то есть придётся считать количество перестановок.

Заметим, что сумма цифр натурального числа равна сумме остатков числа от деления на 9, а произведение цифр равно 0, если в числе есть 0, иначе равно произведению всех остатков числа от деления на 9.

Таким образом, сумма остатков числа от деления на 9 равна 2023, а произведение остатков равно 27. Из произведения следует, что в числе есть ровно три единицы и нет нулей.

Из суммы следует, что остаток числа от деления на 9 равен 2. Значит, в числе есть ровно две девятки. Также, сумма остальных остатков должна равняться 2023-18=2005.

Заметим, что 3*5*7=105, а 2*3*5*7=210. Разложим 2005 в произведение этих чисел: 2005=19*105+80=19*3*5*7+80. То есть, сумма остальных остатков должна быть равна 19*2+80.

Таким образом, искомые натуральные числа представимы в виде 999999...99911...113...355...7, где количество 9, 1, 3 и 5 соответствует количеству девяток, единиц, троек и пятерок, а количество семерок равно 19*2+80=118.

Так как количество цифр в числе ограничено суммой цифр, то можно оценить количество возможных таких чисел. Максимальное количество цифр получится, если используются наибольшие возможные цифры 9, 5, 3 и 1. Тогда количество цифр будет равно 2023/9=224,8, то есть максимальное количество цифр равно 225.

Таким образом, количество возможных таких натуральных чисел ограничено количеством вариантов расставить 2 девятки на любом месте из 225 возможных мест, и 118 семерок на любом месте из оставшихся 223 возможных мест. Значит, количество возможных чисел равно:

C(225,2) * C(223,118) = 198759386814315391152530263550518163914770963573976334314393372730104796438148876376623196321522179600

Ответ: 198759386814315391152530263550518163914770963573976334314393372730104796438148876376623196321522179600.