Трудовое право: постановка на биржу труда. Помогите разобоаться.

да, правомерно. им нечего вам в справке писать и страховые взносы в ПФР тут вообще ни при чем. вы содержание справки для ЦЗ видели? что вам в ней заказчик написать должен? там надо указывать сколько человек отработал в режиме полного/неполного рабочего времени, а у подрядчиков нет никаких норм. средний заработок рассчитывается в соответствии с постановлением 62 Минтруда РФ, т. е. в справке надо зарплату указывать, а у вас её не было, потому как не бывает у подрядчиков зарплаты, только вознаграждение по договору ГПХ.
можете предъявить в ЦЗ свой экземпляр договора ГПХ, а справки о зарплате у вас быть не может.

Не забудьте свой договор ГПХ закрыть актом. Подписать с заказчиком акт, что договор исполнен и прекращен, оплата произведена. Если работодатель затрудняется, что за акт - пусть возьмет за основу форму Т-2 (для срочных трудовых договоров), и удалит оттуда слово "трудовой". И подпишет с работником.
Любой письменный гражданский договор следует закрывать актом. Хоть с физлицом, хоть с юрлицом.

Да, вполне. Вы работали по гражданско-правовому договору. В трудовых отношениях вы с работодателем не состояли.

Обращаться письменно надо с отметкой о получении на втором экземпляре заявления, либо почтой заказным письмом, ответ получить письменно и предоставить его в службу занятости

Если вы работали по гражданско-правовому договору, вам должны отдать второй экземпляр этого договора на руки. Справку о среднем заработке по гражданско-правовому договору предоставлять в ЦЗН не надо. В ЦЗН вы приносите второй экземпляр ГПД и все.