По правилам русского языка, можно ли ставить запятую после знака вопроса?

А когда это было вообще? Я не помню этого... (лучше так и запятые не нужны))

Нельзя. Ни после? ни после! запятые и точки не ставятся.

тут скорее многоточие

Нельзя. Это конец предложения. В конце можно ставить знак вопроса или восклицания, несколько знаков, для выражения особого восклицания или вопроса. ! Более трёх-четырёх является перебором и вызывает недоумение. Ещё ВРОДЕ БЫ можно ставить многоточие, если предложение заканчивается вопросительным или восклицательным знаком и имеет паузу перед последующим.

Правильно - это когда сам правил, но сопоставлял выражение мысли для принятия другими именно так, как считаешь необходимым, и достаточным, чтобы тебя поняли. Именно ТЫ (!) - владелец этого самого РУССКОГО ЯЗЫКА; так кому же хочешь передоверить своё безценное сокровище, соглашаясь править свои мысли правилами, которые ты не создавал?
Если есть особое личное желание, то письменно можно решить этот вопрос даже так: "А когда это вообще было (?), я не помню этого... "
Однако изусно ты делаешь акцент предложения словом "ВООБЩЕ". Именно отсюда и вылезла спотыкалочка, заставляющая разделить желающее оставаться целым. Чтобы "влезть" в рамки одного предложения без деления его на сложное, т. е. применение точки с запятой, акцент необходимо сместить в слово "БЫЛО". В этом случае ты, дополнительно, снимаешь с предложения статус ВОПРОСА, переводя его в статус ОТВЕТА.
ПРИМЕР:
1. А когда это ВООБЩЕ было? Я не помню этого ...
2. А когда это вообще БЫЛО, я не помню этого ...

мне кажется нет

нет, нельзя

По идее то нет, но если прямая речь.. то здесь, мне кажется, могут быть варианты.

нет

Я бы ввел новый знак вопроса с запятой вместо точки под ним

Да-а, полемика, однако!
Запятая не нужна: вопросительный знак уже завершает предложение.
Следовательно, запятая не имеет никакой пунктуационной функции.