Слово "Выбежав" это разве причастие?

В английском нет деепричастия, есть причастие и герундий. Последний похож на причастие ВНЕШНЕ, но является совершенно другой частью речи (и сущ., и прилаг., и наречием)
Вы знаете, писать задания таким образом - просто преступление против учеников. Ну КАК можно буквально переносить терминологию одного языка на другой?!?!Вот из за этого в Росии просто катастрофа со знанием английского, а люди здесь умнее и талантливей других наций. Я три года преподаю англ в России (до этого 15 лет это делала в США), и мои ученики просто в шоке от того, сколько лет им попусту морочили голову подобными занятиями.
Мой совет: читайте об англтйской грамматике на английском. В поиск любого термина добавляйте ESL (English as second language) и вы увидите сайты специально для иностранцев, с доступным языком и примерами. Почитайте Participle, Gerund и многое поймете для себя.

В решебнике не ошибка. Просто когда мы переводим на другой язык, нам необязательно (а иногда и невозможно) сохранять те части речи, что в оригинале. Главное - как можно более точно передать мысль на том языке. В данном случае в английском языке это причастие, но на русский переводится деепричастием.

Деепричастие

Деепричастие.

деепричастие. КАК - наречие , ЧТО СДЕЛАВ - деепричастие

В русском однозначно, деепричастие. А в английском running - это participle причастие. просветиться насчет причастий в английском языке можно тут http://www.alleng.ru/mybook/3gram/6verb_non-fin_part1.htm