Подскажите, пожалуйста, склоняется ли женская фамилия Жура?

13.1.11. Наиболее сложную картину представляют собой фамилии с конечным а. В отличие от предыдущих случаев, здесь существенное значение имеет, следует ли а после гласной или после согласной, падает ли на эту гласную ударение и (в определенных случаях) какого происхождения фамилия. Все фамилии, кончающиеся на а, которому предшествуют гласные (чаще всего у или и) , несклоняемы: Галуа, Моруа, Делакруа, Моравиа, Эриа, Эредиа, Гулиа. Все фамилии, кончающиеся на неударное а после согласных, склоняются по первому склонению: Рибера — Риберы, Рибере, Риберу, Риберой, Сенека — Сенеки и т. д. ; так же склоняются Кафка, Спиноза, Сметана, Петрарка, Куросава, Глинка, Дейнека, Гулыга, Олеша, Нагнибеда, Окуджава и др. Все такие фамилии, независимо от происхождения, являются морфологически членимыми в русском языке, т. е. в них выделяется окончание -а.
Среди фамилий с ударным á после согласных есть как морфологически членимые, так и нечленимые, т. е. несклоняемые. Несклоняемы фамилии французского происхождения: Дюма, Тома, Дега, Люка, Ферма, Гамарра, Петипа и др.
Фамилии иного происхождения (славянские, из восточных языков) склоняются по первому склонению, т. е. в них вычленяется ударное окончание -а: Митта — Митты, Митте, Митту, Миттой; сюда относятся: Сковорода, Кочерга, Кваша, Цадаса, Хамза и др.
ПОСКОЛЬКУ ЭТО ЯВНО СЛАВЯНСКАЯ ФАМИЛИЯ, то согласно последнему абзацу она склоняется по первому склонению независимо от пола. То есть, подошел к Марии Журе, разговариваю с Еленой Журой.

Если вы точно знаете, что "жура" - это существительное женского рода, в чём я лично сильно сомневаюсь, то можете склонять. Иначе нет! Посмотрите http://www.evartist.narod.ru/text1/57.htm#з_06

В зависимости от настроения и желания. У нас когда-то мужская "Гроо" склонялась.

Евгений прав, мужские склоняются, а женские - нет. Прочитать подробнее об этом можно на Грамоте. ру.

http://www.gramota.ru/spravka/letters?rub=rubric_482

нет. насколько знаю склоняются только мужские фамилии. и то есть исключения