Нужна помощь. В одном селе есть река Обгень. Никто не знает значения этого названия.

значения таких названий установить теперь невозможно, можно только гадать

ищите в украинском языке.

Про топонимы, кажется, в Инете должны быть сайты. Только надо искать.

Давно это было. По степям Прикумья кочевал ногайский князь Иштерек.
Была у него дочь Султанет. Сильно хворала Султанет. Иштерек звал
лекарей, знахарей, обещал отдать табуны лошадей и овец за спасение
любимой дочери, но никто не мог её вылечить. Однажды странствующий
старик посоветовал Иштереку отвезти дочь на Дон: «Там есть ключ Ак-су
(белая, живая вода). Напои её той водой» .

Быстро собрался Иштерек. Он передвигался по бескрайним степям,
переходил реки. Спешил. Вокруг безлюдье. Только ковыли шумят да дикие
птицы и звери встречаются на пути. Не у кого спросить, где же ключ.
Единственный встретившийся путникам старец рассказал, где бьёт Ак-су.
«То владение вольных людей-казаков. Атаманом у них Сары-Азман, значит
рыжий человек» - сказал старик.
Встретился, наконец, Иштерек с вольными людьми. Сары-Азман дружелюбно
принял ногайцев и довёл до живого ключа. «Сколько больных ни приходило к
нему, все стали здоровыми» - сказал атаман. Наклонилась к ключу
Султанет и припала к нему губами. Напилась целебной воды и сразу
почувствовала, что сил прибавилось, боль в груди исчезла. Порозовела Султанет, а красоты она была необыкновенной.
Полюбил её Сары-Азман. Послал своих товарищей к отцу Султанет с
просьбой выдать Султанет за него замуж. Не захотел Иштерек оставлять
дочь в незнакомых местах и отклонил предложение Сары-Азмана.

Султанет тоже полюбила казачьего атамана и твёрдо решила стать его
женой, даже без согласия отца. Наступила ночь. Она незаметно вышла из
шатра, осторожно пршла мимо дремавшей стражи. В глубокой Кобяковой балке ждал её Сары-Азман.
Хватился дочери Иштерек, организовал погоню. Долго разыскивал по
окрестным местам. Вдруг на полном скаку сорвался конь с крутого,
каменистого обрыва и разбился вместе с седоком. Тогда все ногайцы
перешли под правление Сары-Азмана.

С тех пор место, где было становище Иштерека, стали называть
Кизи-Тиринга, что значит пропавшая девушка. А поселение, расположившееся
возле ключа Ак-су, нарекли Аксаем.
Так гласит легенда.

Насчёт Обгени и Обгани ничего не скажу.
А вот, что касается происхождения названия Аксай - явно слово тюрского происхождения, очень распространённое название рек, речушек и даже населённых пунктов. Означает "белая вода". Такой же перевод у слова Аксу.
Ак = белый.
Су или сай = река, вода.