Английский язык, отрицание NOT с комбинацией THERE + TO BE

На предложение смотреть не хочется, оно корявое.
Два варианты возможны
There aren't ANY English books in our library.
There are NO English books in our library.

Есть книги или нет книг. No, any, our - местоимения, которые играют роль определителей при существительном в отсутствие артикля.

Вообще, позвольте заметить, вы занимаетесь ерундой, конструируя фразы и переводя их на русский, а потом удивляетесь, что что-то не вяжется. На вашем уровне надо найти качественный учебник и бездумно запоминать, как правильно. Без перевода.

Отбросив в сторону корявость (полностью согласна с другими ответчиками) предложения, попробую ответить.
1."А почему оно переводится именно так, а не, скажем, например: в нашей библиотеке нет (никаких вообще) английских книг? "
- Потому что, если нет никаких вообще англ. книг, то нужно использовать NO: There are no English books in our library. NO - абсолютное отрицание. Not - отрицание помягче, но в данном случае бессмысленное: зачем подчёркивать, что какие-то другие книги есть? Разве может быть библиотека вообще без книг?
2. "Откуда здесь вообще пресловутое "но"? Здесь нет but. Тут есть только отрицание о том, что имеются английские книги, то бишь вообще никаких книг нету".

- Этот перевод передаёт общий смысл предложения. Чем дальше вы будете учить английский, тем глубже начнёте понимать, что дословный перевод в нём невозможен в 90% случаев. Переводить надо ЭКВИВАЛЕНТАМИ фраз, а не словами. По той простой причине, что русскоязычные и англоязычные люди мыслят и составляют фразы по-разному. Можно перевести иную фразу так, что ни одно слово не будет совпадать по значению, а общий смысл и даже нюансы мыслей будут переданы достаточно точно. В этом и состоит искусство переводчика-профессионала.

3. "There are - в нашей тут".

- There are это вовсе не "в нашей тут". Как вам уже сказали, THERE ARE дословно -"Там есть\имеются". Этот оборот вообще в большинстве случаев не переводится, особенно если переводить предложение с конца (как в вашем случае) , т. е. с той части, которая отвечает на вопрос "Где? "

4. "in our library - в библиотеке. И зачем здесь OUR?"

- Перевод: в нашей библиотеке. OUR как раз и означает "наша". Вопрос возник, видимо, из-за неправильного толкования "there are" - см. п. 3.

Возможно, исходник выглядит так: There are NON-English books in our library...
То бишь "книг на английском" или "английских книг". Некоторая нечёткость.. .

OUR потому что необходимо уточнение, можно и THIS либо THE. Отрицание в конструкции - через NO, причём полное.. .

А русское НО - скорее всего, "креатив" от переводчика...

Ваше недоумение вполне справедливо. Предложение There are not English books in our library переводится "В нашей библиотеке нет английских книг". Только так и никак иначе.

или There are not any English books...
но лучше однозначно There are no English books

Удивительно, откуда вы откопали это предложение? ))) Адаптированная
книжка что ли? Носители языка так никогда не сказали бы. По крайней
мере, американцы.
1. There are/there is - стандартная конструкция, когда вы в предложении собираетесь сказать о том, что и сколько чего находится/имеется где-либо. Если в русском языке вы бы сказали - в моей комнате есть стол и стул, то в английском дословно будет - там есть стол и стул в моей комнате (There is a table and a chair in my room). Звучит для нас странно, но для них в самый раз.
2. Not English books - неправильно перевели - не "нету английских книг", а "не английские книги".
3,4. Our - наш, наша, наше, наши. Поэтому in our library - в нашей библиотеке.

Все вместе дословно - Здесь есть не английские книги в нашей библиотеке. То бишь на чистом русском можно сказать - В нашей библиотеке нету английских книг, но есть другие. Литературный перевод, по смыслу. Вот отсюда и "но".

There are nO English books in our library пере водится именно " в нашей библ. нет англ. книг. "
В нашей библиотеке есть книги, но они не английские переводится: "There are books in our library, but they aren't English"
OUR = наш (а)
вообще в вопросе много чего непонятно