используется ли слово shall в современном английском?

Shall используется только как модальный глагол. Как вспомогательный уже не используется. Его значения как модального следующие:

да

Разумеется используется.
Вот примеры из Дневника Бриджит Джонс:
But I shall be taking one of my trains in the morning.
I shall be poised and cool and remember that I am a woman of substance...
'Shall we open it?' I said.
'Now what shall we do?'
...which is exactly what I shall begin to do once I've eaten this chocolate croissant.
I shall put that in the diary for the twenty-ninth...
'Shall we go and sit down?' said Daniel.
'Shall we have another bottle of wine?'
So shall we not go to Jenny Eclair — Chuh!
No, Harry Hill's booked up, so shall we skip the Coen brothers?'
'Anyway, I'll tell Elaine you'd love to come, shall I?' she said,...
'Well I hope, when we do, I shall be the one to do the deed,' said a voice on my other side.
Who shall I put it to?
Shall I come round tomorrow before the football?'

Если вы общаетесь с заправщиками на бензоколонке, то shall для образования будущего времени в 1-ом лице, может, и излишек, но в научной литературе shall никогда не заменяется will.

Уже нет . Shall очень давно использовали как вспомогательный глагол . Но сейчас вместо него используют Will . Забудьте слово Shall, его уже не употребляют в английском .

Да постоянно используется, просто оттенки значения сместились со временем

Shall так же как и will используется: 1)для прогнозирования будущего.... может заменять will впервом лице единственного и множественного числа.. Например I'm afraid I shall be late. Я боюсь что я могу опоздать. В этом случае в принципе можно употребить will
2) Для выражения намерения совершить действие.... так же как и will...Хотя и используется редко, но звучит более весомо чем will
I shall do it as soon as I can/ Я это сделаю как только смогу
3) для выражения обещания и выражает более твердое обещание чем will.
4) Когда мы спрашиваем совета мы употребляем shall но не will
5) Когда мы хотим услышать от кого то предложение или предложить чего то сами мы употребляем не will a shall
6) Когда кто то передает официальное распоряжение. Тогда shall употребляется в третьем лице и переводится как должен

в основном нет. используется will.