Используется ли сейчас в английском слово shall? Или will? Как будет правильно?

В разговорной речи не используется. Да и в письменном тоже.
Это как в Русском например токмо или зело написать.
Забудьте это старье уже.
Вы современные фильмы вобще что ли не смотрите?

The Future Simple Tense usage.
I. Отстранённость (I, we - shall; he, she, it, they - will).
1. Условные предложения 1 типа. If you go there, you will see him.
2. Независимые от нас события. We will have exams in June.
3. Прогнозы, гадания. It will rain tomorrow. You will marry a rich man.
4. Предполагаемые события, исходя их предыдущего опыта. And then he will say goodbye and you will never see him again.
5. Страдательный залог. Tomorrow the children will be taken to the zoo.
II. Эмоции? модальность (I, we - will; he, she, it, they - shall).
1. Обещания. I will buy you a bike!
2. Приказы. You shall/will do it at once!
3. Угрозы. You shall/will regret it!
4. На месте принятое решение. I will go and buy it, too!
5. Постановления, уставы. The company shall be called Microsoft.
6. Предложения. Shall we go to the cinema?
7. Ожидание приказа, ответа. Shall I close the window?
8. Вежливое приглашение. Will you take the seat, please?

Shall используется в вежливой речи, для выражения предложения (чего-либо), предположения, совета или просьбы о совете.

What dress shall I wear?
Shall I open the window?
Shall we begin?

используются в разных случаях