Может ли стоять артикль a или the перед last week's в предложении "It was last week's big mover."?

Станислава, вы не правы.
Вы утверждаете одно, а потом пример приводите совершенно другой. При чём здесь last week к over the last few weeks? Какая связь? Это два разных выражения.
over the last (или past) few weeks/month/years - это устойчивое выражение. И в нём не "может" стоять артикль, в нём ВСЕГДА употребляется артикль. И данное выражение никак не объясняет наличие или отсутствие артикля в другом выражении, с ним не связанном.
Я согласна с Crowd.
Объясню на простом примере:
Новый клуб - a new club
Рабочие (какие-то конкретные, этого завода, например) - the workers
Новый клуб рабочих - the workers' new club
Какой артикль перед workers? - the. А чей, так сказать, это артикль изначально? - Правильно, рабочих. А куда делся артикль "а"? - А он уже не нужен, так как у "нового клуба" появилось определение. Был "некий" клуб, стал "клуб (этих) рабочих).
Теперь ваш пример.
It was a big mover. It was last week. = It was last week's beeg mover.
То есть артикль, стоящий перед существительным в форме притяжательного падежа, определяет как раз это самое существительное в притяжательном падеже, относится к нему. И это существительное в притяжательном падеже является определением к последующему существительному.

а по-моему-может, и относится к big mover, вот предложение из газеты (журнала..):

The answers to the Con29DW Drainage and Water Search are affected by the change in responsibility and over the last few weeks Safe-Move have delivered ...

Нет.
Артикль будет относиться к last week, а не big mover.