Правильный морфемный разбор слова "Ужасно" - Ужасно - корень. Но как тогда подобрать к нему однокоренные слова?

Вы предложение со словом не записали, а вне предложения не понять, что это за часть речи. Это может быть:
★ наречие: Он ужасно картавил. Картавил как? ужасно.
★ слово категории состояния: Было ужасно. Было как? каково?
★ краткое прилагательное в форме среднего рода (полная форма – ужасный): Это платье ужасно. Платье каково?

Наречие и слово категории состояния разбираются одинаково, и разбор их именно такой, о котором Вы в дополнении к вопросу написали, что он неправильный:

★ ужас/н/о – приставка/корень/суффикс/суффикс; основа слова – ужасно.

Качественные прилагательные в краткой форме изменяются по числам, а в единственном числе по родам (ужасен, ужасна, ужасно, ужасны), так что у них есть окончание. Прилагательное УЖАСНО разбираем так:

★ ужас/н/о – приставка/корень/суффикс/окончание; основа слова – ужасн-.

Видимо, Вам нужно было разобрать именно прилагательное, но Вы ведь не сказали, какую часть речи надо разобрать, а в русском языке есть много омоформ (разновидность омонимов) – слов, которые совпадают в написании и произношении не вообще, а в какой-то форме. Вот и прилагательное УЖАСНЫЙ и наречие УЖАСНО омонимами не являются, но краткая форма этого прилагательного в среднем роде – омоформа наречия и слова категории состояния УЖАСНО.

А можно я не буду говорить, что "правильный разбор - ужас (корень), н (суф), о (суф) ", а покажу:
Какие у вас основания утверждать, что это неправильно?

ужас, ужасающий, ужасный- однокоренные слова

Всю голову сломал. Теперь не спать из за тебя! Корень "Ужас". А учителя надо менять!