Чем отличается sick от ill? Приведите пример когда sick используется, а когда ill?

Синонимы, поэтому в большинстве случаев взаимозаменяемы. He is ill - примерно то же, что и He is sick.

Различия:
- Ill может означать большую серьезность заболевания ("болен", в отличие от "заболел"). "He is seriously ill" (а не sick) - серьезно болен.
- Sick часто используется в переносном значении. Are you sick? -Ты что, больной (на всю голову). This is sick. - Безумие какое-то. I'm sick and tired of sth - как меня достало что-либо. "I'm sick and tired of being sick and tired" - как меня достало болеть и уставать ;)

Добавлю немного к ответу выше.
Sick может употребляться перед существительным, а ill - нет. То есть, можно сказать a sick man, но нельзя an ill man.

Прилагательное ill употребляется, когда речь идет о серьезном заболевании.
She is ILL with a tropical desease.(серьезное заболевание)
НО: She is SICK with a flue.(менее серьезное заболевание)
Прилагательное ILL имеет значение -дурной, плохой, злой, враждебный, вредный, гибельный. В этом значении оно МОЖЕТ употребляться ПЕРЕД сущ-м в роли определения. --He is an ill person
Кроме того, в BrE слово SICK --чувствовать тошноту--be/get sick--I think I 'm going to get sick.

SICK =часто переводится как "тошнит" то есть более общее как I am sick of you!="мне плохо от тебя, мутит, от тебя тошнит", а... IiLL = просто болен, или испорченный ILL manners =плохие манеры, воспитание