Нужен ли артикль the, если дополнение упоминается второй раз A man with a dog came in.The man with a(the) dog ordered...

Вы правильно мыслите. Тут собака как определение человека. Это мог бы быть и синяк. Поэтому можно и не менять на the, если нет необходимости делать акцент на собаке.
P.S. Тот случай, когда надо думать, а не читать грамматику).

НАДО менять на определенный!
Как человеку. так и собаке.)
Какой-то человек с какой-то собакой вошли.
Этот человек с Этой собакой (о которых уже была речь) заказали...
Читайте Грамматику.)

Это, смотря, акцентируется или нет внимание слушающего/читающего и на собаке. Если собака тоже приказала/заказала (что мало вероятно: "человек с собакой заказали по бифштексу") то the. Вариант "the man and dog", если они составляют единое логическое целое. А если она только атрибут человека (описательное определение, что, похоже здесь и имеет место), то a. В языках не всё так просто, как пишут в кратких грамматиках. Никогда не ставьте многоточие и просите перевести. Многоточие означает неопределённость.

The man with a dog...
Для собаки не надо.

Лола, как всегда и права, и успевает ответить раньше — у-у-у!

Про твой дополнительный вопрос с синяком:

A man with a scar came in. Это его развёрнутая хар-ка — 'man with a scar'? Не будем интересоваться шрамом — неприлично. Надо ли менять его хар-ку? Нет, не надо:

— The 'man with a scar' ordered...

А уж фингалом интересоваться — тем более. Ну, разве что врачу... Тогда добавим определённости вторым the.

менять нужно. и забудьте этот бред о том что известно о собаке. если речь идет о чем-то конкретно, то надо ставить the.

зашла какой то мужик с какой то собакой. нет конкретики, значит ставим А
затем этот мужик (уже не какой-то) с этой собакой, уже имеем конкретику, значит ставим the