Скажите, пожалуйста, почему здесь "he mentions it again" именно стоит Present simple?

Первое условное (First Conditional).
Если (когда) что-то случится, то случится что-то ещё. В таких предложениях часть-причина будет в Present Simple, а часть, которая зависит от этой причины - в Future Simple.
Например, "Мы пойдём завтра в парк, если не будет идти дождь". If it isn't rainting, we'll go to the park tomorrow. Или "она позвонит мне, когда будет в Лондоне" - She'll call me when she's is London.
В вашем примере тоже "Я запишу, как только он упомянет" - условие (он упомянет) в настоящем, а зависящая от этого условия часть - в будущем.

Придаточное времени---> Simple Present

В русском языке в простых условных предложениях (типа "Если он придет, то я его убью") глаголы в обеих частях предложения стоят в будущем времени.
В английском - другое правило. В условии глагол должен стоять в настоящем времени! Вот так:
If he comes I will kill him.
Ваша фраза совершенно аналогична, только вместо "если" стоит "как только" : I’ll write it down as soon as he mentions it again.
К этому надо просто привыкнуть. Это нетрудно.
Сложнее с сослагательным наклонением и условными предложениями других типов: Если бы он пришел, то я его бы убила, и т. п. Там уже не настоящее время надо использовать, а вроде как Past Perfect...

Present simple - это что делает.
Continuous - чем занимается.

Лектор не занимается тем, что упоминает.
Это не постоянный процесс.