Откуда пошло выражение отмазываться? отмазки? причем тут мазь?

Смазать, значит заинтересовать, подкупить.... И шестерёнки завертятся.

ОТМА'ЗАТЬ, жу, жешь, сов. (к отмазывать) (разг.). 1. что. Отделить что-н. приклеенное, примазанное. 2. без доп. Кончить мазать, закончить мазанье, смазку, замазывание; см. [от]1 в 1 знач.
отма́зать
1. разг. замазывая или промазывая, нанести на поверхность что-либо вязкое ◆ 〈…〉сметной росписью за 1694 г. предусматривалось западную стену Довмонтова города «слица и изнутри отмазать и отбелить, а осыпанные места выченить» 〈…〉 // «Археологический сборник», 1968 г ◆ Неровности на стенах следует отмазать гипсовой шпатлёвкой.
2. что. отделить что-нибудь приклеенное, примазанное
3. без доп. кончить мазать, закончить мазанье, смазку, замазывание
4. жарг. помочь кому-либо избежать наказания или иных неприятных последствий ◆ Самое поразительное, что Витольд и жил, и работал один, за ним никто не стоял, абсолютно, что не могло прийти в голову потерпевшим, иначе тому не сносить бы своей, — некому было его отмазать и прийти на выручку, он рассчитывал только на свои силы — всегда, что же удивительного, если рано или поздно, но он проиграл. Николай Климонтович, «Дорога в Рим», 1991–1994 г. (цитата из НКРЯ) ◆ До поры до времени он беспрекословно выполнял все приказания босса, даже такие, которые попахивали криминалом, до тех пор, пока Жжёный был «на коне», то есть в законе, и всегда мог отмазать. Александр Савельев, «Аркан для букмекера», 2000 г. (цитата из НКРЯ)
Существует версия о происхождении слова отмазать от жаргонизма "маза".
МАЗА жарг., выгодное дело, полезные связи, знакомства, хорошая идея, а также мнение, предложение. В уголовном жаргоне слово МАЗА означает поддержку, круговую поруку, заступничество друг за друга.
Интересна и судьба слов ПРИМАЗЫВАТЬСЯ и ОТМАЗЫВАТЬСЯ, довольно частых в современной речи. «Не примазывайся!» — можем мы сказать кому-то, кто провинился и подлизывается. «Не отмазывайся!» — говорим тому, кто оправдывается в чем-то или уходит от ответственности. ОТМАЗКА вообще очень модное слово. Так называют плохую, неубедительную отговорку. «Примазываться» в современных словарях жаргона нет, зато есть у Даля. Значение — ластиться, подделываться. Ну а современные источники определяют этот глагол как «присоединяться к чему-либо в корыстных целях». Такое определение дает Толково-словообразовательный словарь Ефремовой.

На иврите мазаль тов удача
Шлемазл неудачник

Оттуда-же, откуда липнуть и отлипнуть - из русского языка (как это ни странно слышать некоторым). Мазь липка.

возможно отмазка от процесса мазать, наносить что-то, пудрить мозги, отвлекать от сути вещи или явления и тем самым задурить мозги и уклониться, скрыть сущность, скрыть себя - скрыться.

Это слово "мазь" произошло от глагола "мазать", а не наоборот. Поэтому "мазь" тут ни при чём, а вот "мазать / смазать" в переносном смысле (как уже упомянули, смазать шестеренки, чтобы дать делу нужный ход) - очень даже!

Может это про смазку